Στην παρούσα διπλωματική εργασία με τίτλο:
Θεμελιώδεις Εξισώσεις της Γραμμικής Ελαστικότητας 2ας Βαθμίδας με Επιφανειακή
Ενέργεια χρησιμοποιείται και επεκτείνεται η Θεωρία Mindlin για την καταστατική
προσομοίωση των Θεμελιωδών Εξισώσεων της Γραμμικής Ελαστικότητας, εξάγεται το
θεώρημα μοναδικότητας και αναλύεται το πρόβλημα διάτμησης απειρομήκους λωρίδας
για διάφορες κλάσεις συνοριακών συνθηκών.
Η χρήση και
επέκταση της θεωρίας Mindlin προτείνεται προκειμένου να
περιγραφεί και προσομοιωθεί η μηχανική συμπεριφορά
υλικών με μικροδομή όπως κοκκώδη υλικά, σύνθετα υλικά
και κυψελωτά υλικά. Τέτοια υλικά παρουσιάζουν
χαρακτηριστικά φαινόμενα κλίμακας (scale effects) αφού
εμφανίζουν μικροδομικό χαρακτήρα, που αντιστοιχεί στις
διαστάσεις των επί μέρους υλικών. Ως συνέπεια της δομής
των υλικών αυτών, οι κλασσικές θεωρίες της Μηχανικής του
Συνεχούς Μέσου δεν μπορούν να περιγράψουν επαρκώς την
παραμόρφωση και τις μηχανικές ιδιότητές τους.
Στην παρούσα
εργασία πραγματοποιήθηκε ανάλυση του μαθηματικού
προτύπου που προτάθηκε αρχικά από τους Vardoulakis and
Sulem (1995) το οποίο βασίζεται σε μια θεωρία γραμμικής
ελαστικότητας 2ας βαθμίδας τύπου Mindlin (1964). Σε
αυτήν την περίπτωση η πυκνότητα ελαστικής ενέργειας
εξαρτάται από την τροπή και την βαθμίδα της τροπής και
σύμφωνα με την ταξινόμηση κατά Mindlin & Eshel (1968), η
μορφή αυτή της πυκνότητας ελαστικής ενέργειας μπορεί να
χαρακτηρισθεί ως μορφή δεύτερου τύπου (2nd form). Επίσης
εισάγονται στην συνάρτηση πυκνότητας ελαστικής ενέργειας
δύο υλικές παράμετροι εκ των οποίων ο ένας ονομάζεται
κατευθυντής. Με την υπόθεση ότι ο κατευθυντής λαμβάνει
στην επιφάνεια του σώματος την μορφή
, η ολική ελαστική ενέργεια αποτελείται από δύο
συνιστώσες: η πρώτη αφορά στην χωρική ελαστική ενέργεια
και η δεύτερη στην επιφανειακή ελαστική ενέργεια.
Στο θεωρούμενο
Συνεχές τύπου Mindlin δεχόμαστε ότι δρούν καθολικές
δυνάμεις, επιφανειακές δυνάμεις, ζεύγη επιφανειακών
δυνάμεων, με διάνυσμα ροπής, και αυτο-ισσοροπούντα ζεύγη
επιφανειακών δυνάμεων. Χρησιμοποιώντας τις αρχές
διατήρησης της ορμής, στροφορμής και ενέργειας και
θεωρώντας το στατικό πρόβλημα καταλήγουμε στις εξισώσεις
που συνδέουν τις καταστατικές τάσεις και διπλοτάσεις με
τα πραγματικά εντατικά μεγέθη.
Με βάσει τα
παραπάνω προτείνεται Σύστημα Ασθενών Συνοριακων Τιμών το
οποίο περιλαμβάνει δυνάμεις, ροπές και διπλοδυνάμεις
που ενεργούν σε διαφορετικά μέρη του συνόρου και
δίδονται δύο εκφράσεις του συστήματος, μία συναρτήσει
των καταστατικών τάσεων και διπλοτάσεων και μία
συναρτήσει των αρχικών κινηματικών μεταβλητών. Στην
συνέχεια αποδεικνύεται η μοναδικότητα της λύσης του
προβλήματος με τις παραπάνω συνοριακές συνθήκες.
Τέλος αναλύεται το
πρόβλημα διάτμησης απειρομήκους λωρίδας για διάφορες
συνοριακές συνθήκες, συγκρίνονται τα αποτελέσματα με την
λύση της κλασικής μηχανικής και προσδιορίζεται η
συνεισφορά της ελαστικότητας 2ας βαθμίδος.
|