Η αλληλεπίδραση εδάφους – θεμελίου – ανωδομής μπορεί να ληφθεί υπόψη κατά την ανάλυση της τελευταίας με την αντικατάσταση του συστήματος εδάφους – θεμελίου με καταλλήλως βαθμονομημένα στοιχεία, όπως ελατήρια ή μακροστοιχεία.  Το όφελος που προκύπτει από μια τέτοια αντικατάσταση αφορά πρωτίστως το κόστος σε υπολογιστικό χρόνο, καθώς καταργεί την ανάγκη λεπτομερούς προσομοίωσης του εδάφους με 3Δ (ή 2Δ) στοιχεία συνεχούς μέσου, ενώ ταυτόχρονα επιτρέπει –με απλό τρόπο– την ενσωμάτωση της μή–γραμμικής συμπεριφοράς του συστήματος εδάφους – θεμελίου ως παραμέτρου της απόκρισης της κατασκευής και των ενδεχόμενων πλεονεκτημάτων αυτής (π.χ. τη μεταφορά μικρότερων φορτίων στην ανωδομή και τη μεγαλύτερη διαθέσιμη πλαστιμότητα).

Η σύγχρονη πρακτική στον αντισεισμικό σχεδιασμό των θεμελιώσεων, όπως αποτυπώνεται στους αντισεισμικούς κανονισμούς (π.χ. EC8), προνοεί για την αποφυγή της μή–γραμμικής συμπεριφοράς του συστήματος εδάφους – θεμελίου.  Με άλλα λόγια, η πλαστικοποίηση οδηγείται στα στοιχεία της ανωδομής, ενώ η απόκριση της θεμελίωσης πρέπει να παραμένει ελαστική.  Ωστόσο, η ολίσθηση, ο λικνισμός και η κινητοποίηση της φέρουσας ικανότητας του εδάφους είναι εντόνως μή–γραμμικοί μηχανισμοί που οδηγούν σε σημαντική απόσβεση ενέργειας προς άμυνα της ανωδομής έναντι εδαφικών κινήσεων που είναι μεγαλύτερες από αυτές του σχεδιασμού.

Πράγματι, έχει αρχίσει να αναπτύσσεται μια νέα φιλοσοφία αντισεισμικού σχεδιασμού, στην οποία η διαρροή του εδάφους χρησιμοποιείται για την προστασία της ανωδομής σε περιπτώσεις διεγέρσεων που υπερβαίνουν σημαντικά τον σεισμό σχεδιασμού.  Για τη διερεύνηση της ιδέας της “μόνωσης μέσω λικνισμού„ έχουν μελετηθεί μονοβάθμια συστήματα, όπως τα βάθρα γεφυρών, και απλές παλαισιωτές κατασκευές.

Η πλήρης αριθμητική προσομοίωση του παραπάνω προβλήματος με 3Δ (ή 2Δ) στοιχεία συνεχούς μέσου για το έδαφος είναι μεν η ρεαλιστικότερη προσέγγιση, αλλά ταυτόχρονα λόγω πολυπλοκότητας στην εφαρμογή της, αποτελεί τροχοπέδη στη διάδοση της νέας αυτής φιλοσοφίας σχεδιασμού.

Προκειμένου λοιπόν να καταστεί πιο προσιτή ως προς την εφαρμογή της, κρίνεται απαραίτητη η ανάπτυξη απλοποιημένων μεθόδων που θα μπορούσαν εύκολα να ενσωματωθούν σε εμπορικούς αριθμητικούς κώδικες.  Στο πλαίσιο αυτής της προσπάθειας ανήκει και η παρούσα μεταπτυχιακή εργασία, η οποία διερευνά την αποτελεσματικότητα χρήσης καταλλήλως βαθμονομημένου μή–γραμμικού περιστροφικού ελατηρίου σε συνδυασμό με τον αντίστοιχο περιστροφικό αποσβεστήρα, προκειμένου να αποτυπωθεί η δυναμική λικνιστική απόκριση μονοβάθμιου συστήματος.  Η μή–γραμμική μεθοδολογία που τελικά προτείνεται αφορά τετραγωνικό θεμέλιο, αλλά με την ίδια ακριβώς λογική θα μπορούσε να εφαρμοστεί σε οποιονδήποτε τύπο επιφανειακής θεμελίωσης (θεμελιολωρίδα, τετραγωνικό, ορθογωνικό & κυκλικό).

 Προσομοίωση

Ο ορισμός του προβλήματος φαίνεται στο σκαρίφημα του Σχήματος 1.  Για τη βαθμονόμηση των παραμέτρων της προτεινόμενης μεθοδολογίας μέσω στατικών μονοτονικών και ανακυκλικών αναλύσεων και την τεκμηρίωση της αποτελεσματικότητάς της μέσω δυναμικών αναλύσεων, διαμορφώνεται προσομοίωμα στον κώδικα πεπερασμένων στοιχείων Abaqus.

Μια κατασκευή συγκεντρωμένης μάζας στην κορυφή εδραζόμενη επί τετραγωνικού θεμελίου αντιπροσωπεύει το σύστημα καταστρώματος – βάθρου – θεμελίωσης.  Το βάθρο προσομοιώνεται με ελαστικά γραμμικά στοιχεία δοκού, ενώ το κατάστρωμα αναπαρίσταται από ένα στοιχείο μάζας.  Το δε θεμέλιο προσομοιώνεται με ελαστικά οκτακομβικά στοιχεία συνεχούς μέσου και θεωρείται αβαρές.  Ο εν λόγω ταλαντωτής θεωρείται απολύτως άκαμπτος.  Το έδαφος, μια ομοιογενής αργιλική στρώση, προσομοιώνεται με μή–γραμμικά οκτακομβικά στοιχεία συνεχούς μέσου.  Η ελαστοπλαστική συμπεριφορά του εδάφους περιγράφεται από το κριτήριο διαρροής Von Mises με έναν μή–γραμμικό κινηματικό νόμο κράτυνσης.

Για τη ρεαλιστική προσομοίωση της συμπεριφοράς της διεπιφάνειας εδάφους – θεμελίου χρησιμοποιούνται στοιχεία διεπιφάνειας που επιτρέπουν την αποκόλληση του θεμελίου από το υποκείμενο έδαφος.  Επιπλέον, προκειμένου να απομονωθεί η λικνιστική συμπεριφορά, θεωρείται πολύ μεγάλος συντελεστής τριβής στη διεπιφάνεια θεμελίου – εδάφους, ώστε να παρεμποδιστεί η ολίσθηση.

Στο ελατηριωτό προσομοίωμα τα στοιχεία της ανωδομής ορίζονται ακριβώς όπως προηγουμένως, αλλά αυτή τη φορά το σύστημα εδάφους – θεμελίου έχει αντικατασταθεί με μή–γραμμικό περιστροφικό ελατήριο, γραμμικό κατακόρυφο και οριζόντιο ελατήριο, καθώς και από τους αντίστοιχους αποσβεστήρες.

 Βήματα Εφαρμογής της Μεθοδολογίας

Για την εφαρμογή της προτεινόμενης μεθοδολογίας απαιτείται η εξ αρχής γνώση                           3 αδιαστατοποιημένων σχέσεων συναρτήσει της γωνίας στροφής θ του θεμελίου, οι οποίες επιλέγονται βάσει (α) του σχήματος του θεμελίου (θεμελιολωρίδα, τετραγωνικό, ορθογωνικό ή κυκλικό) και (β) του συντελεστή ασφαλείας έναντι κατακoρύφου φορτίου F_S.  Πρόκειται για τις εξής:

-        Καμπύλη αναπτυσσόμενης ροπής Μ – γωνίας στροφής θ

-        Καμπύλη περιστροφικής απόσβεσης C_R – γωνίας στροφής θ

-        Καμπύλη καθίζησης Δw – γωνίας στροφής θ

 Καμπύλες Μ – θ

Οι καμπύλες αναπτυσσόμενης ροπής Μ – γωνίας στροφής θ για κάθε συντελεστή ασφαλείας έναντι κατακορύφου φορτίου F_S σχηματίζονται ύστερα από μια σειρά στατικών μονοτονικών αναλύσεων επιβαλλόμενης οριζόντιας μετατόπισης.  Ο απλοποιημένος τρόπος κατασκευής των καμπυλών Μ – θ, ούτως ώστε να αποτελούνται από διαδοχικά ευθύγραμματα τμήματα φαίνεται στο Σχήμα 2.  Μπορούμε να διακρίνουμε 3 κλάδους σε καθεμία από αυτές, τον 1ο ευθύγραμμο – οιονεί ελαστικό, τον 3ο όπου πλέον η αναπτυσσόμενη ροπή έχει λάβει τη μέγιστη τιμή της και τον 2ο μεταβατικό κλάδο μεταξύ των προαναφερθέντων που ορίζεται από 3 σημεία.

 Καμπύλες C_R – θ

Από τη στιγμή που αντικαθίστανται τα πεπερασμένα στοιχεία του εδάφους (το καταστατικό προσομοίωμα των οποίων διέθετε απόσβεση) με μή–γραμμικό περιστροφικό ελατήριο, οφείλει να προστεθεί και ο αντίστοιχος αποσβεστήρας στην περιστροφική διεύθυνση για να επιτευχθεί η ισοδύναμη απόκριση του συστήματος σε δυναμική φόρτιση.  Στην παρούσα μεθοδολογία, για τον υπολογισμό του συντελεστή απόσβεσης C_R λαμβάνεται υπόψη μόνον η υστερητική συνιστώσα.  Για να μελετηθεί, λοιπόν, η υστερητική απόσβεση των μονοβάθμιων συστημάτων, πραγματοποιήθηκε σειρά στατικών ανακυκλικών αναλύσεων επιβαλλόμενης οριζόντιας μετατόπισης σταθερού πλάτους και υπολογίστηκε, για κάθε περίπτωση πλάτους θ & συντελεστή ασφαλείας F_S.

Ο λόγος απόσβεσης ξ είναι αύξουσα συνάρτηση του πλάτους των παραμορφώσεων όπως φαίνεται στο Σχήμα 3α, ενώ η περιστροφική δυσκαμψία Κ_R(θ, F_S) είναι φθίνουσα συνάρτηση του πλάτους των παραμορφώσεων (Σχήμα 3β).  Στο Σχήμα 3δ παρατηρείται συστηματικά, για όλους τους συντελεστές ασφαλείας, ότι ο συντελεστής απόσβεσης C_R, από μια αρχική τιμή (η οποία εξαρτάται από τον F_S) αυξάνεται για γωνίες μέχρι θ = 10^-3, όπου και λαμβάνει τη μέγιστη τιμή του, ενώ στη συνέχεια για μεγαλύτερες γωνίες μειώνεται, έως ότου πρακτικά να μηδενιστεί για θ > 10^-1.

Ως ω λαμβάνεται η αρχική (για μηδενική γωνία στροφής θ) λικνιστική ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή, καθώς παρατηρήθηκε στις δυναμικές αναλύσεις ότι για αυτή την τιμή προκύπτει το βέλτιστο αποτέλεσμα, και όχι αν ληφθεί ως ω μια χαρακτηριστική συχνότητα της διέγερσης (π.χ. η δεσπόζουσα).

Στον κώδικα Abaqus, καθώς και σε όλους του εμπορικούς κώδικες, μπορεί να εισαχθεί μόνο μια τιμή για τον συντελεστή περιστροφικής απόσβεσης C_R –όχι μια συνάρτηση ως προς τη γωνία στροφής θ– οπότε πρέπει αναγκαστικά να γίνει επιλογή μιας χαρακτηριστικής τιμής από το διάγραμμα C_R – θ, που να αντιπροσωπεύει τη συμπεριφορά του συστήματος για τον αντίστοιχο συντελεστή ασφαλείας F_S.  Γενικώς, παρατηρείται η τάση ότι καλύτερα αποτελέσματα προκύπτουν όταν ο C_R λαμβάνει τη μέγιστη τιμή του, όπως αυτή προκύπτει από το διάγραμμα C_R – θ για κάθε συντελεστή ασφαλείας.  Οπότε προτείνεται απευθείας η χρήση της τιμής για θ = 10^-3 για τον εκάστοτε F_S.

 Καμπύλες Δw/B – θ

Ύστερα από μια σειρά στατικών ανακυκλικών αναλύσεων επιβαλλόμενης οριζόντιας μετατόπισης έχουν καταρτιστεί και διαγράμματα που συσχετίζουν τoν ρυθμό αδιαστατοποιημένης δυναμικής καθίζησης Δw/B με τη γωνίας στροφής θ για κάθε συντελεστή ασφαλείας έναντι κατακορύφου φορτίου F_S.  Η σχέση που διέπει τα δύο αυτά μεγέθη είναι ως επί το πλείστον γραμμική, όπως φαίνεται στο Σχήμα 4.  Για μεγάλους συντελεστές ασφαλείας F_S = 10 & 5 προκύπτει ότι οι καθιζήσεις είναι αμελητέες.  Παρατηρείται, παρ’ όλα αυτά, και σε αυτές τις περιπτώσεις μια μικρή καθίζηση αν η σεισμική διέγερση είναι μεγάλης διάρκειας.  Απλοποιημένες γραμμικές σχέσεις που συνδέουν το ρυθμό καθίζησης με τη στροφή φαίντονται στο Σχήμα 4.

Ως προς τον υπολογισμό της καθίζησης: στη χρονοϊστορία θ – t που προκύπτει από τη δυναμική ανάλυση εντοπίζονται οι διακριτοί ημι–κύκλοι.  Σε κάθε ημι–κύκλο πλάτους θ, αντιστοιχίζεται από το διάγραμμα Δw – θ η τιμή Δw.  Το ήμισυ αυτής είναι η περίπου η καθίζηση που αντιστοιχεί στον εκάστοτε ημι–κύκλο.  Με αυτόν τον τρόπο λαμβάνεται η τιμή της τελικής αθροιστικής καθίζησης, αλλά και η –κατά προσέγγιση– χρονική εξέλιξη των καθιζήσεων.

 Αποτελέσματα  Δυναμικής  Ανάλυσης

Προς τεκμηρίωση της αποτελεσματικότητας της προτεινόμενης μεθοδολογίας παρουσιάζεται εφαρμογή σε συγκεκριμένο σύστημα που απεικονίζεται στο Σχήμα 5.  Ο ταλαντωτής υποβάλλεται στον εξιδανικευμένο παλμό Tsang _ΙXA συχνότητας 2Hz και πλάτους 0.2g & 0.4g, καθώς και σε μια σειρά από πραγματικές σεισμικές διεγέρσεις, συγκεκριμένα:

 Στο πλήρες προσομοίωμα, όπου το έδαφος προσομοιώνεται με τριδιάστατα πεπερασμένα στοιχεία, η σεισμική διέγερση κατά τη δυναμική ανάλυση επιβάλλεται στους κόμβους της βάσης της εδαφικής στρώσης (επιταχυνσιογράφημα στον βράχο), οπότε η καταγραφή στη στάθμη της θεμελίωσης έχει διαφοροποιηθεί λόγω της εδαφικής απόκρισης.  Για να είναι λοιπόν ισοδύναμα τα δύο συστήματα, στην περίπτωση της αντικατάστασης του εδάφους με ελατήρια και αποσβεστήρες, επιβάλλεται στο θεμέλιο η χρονοϊστορία επιταχύνσεων που καταγράφεται στη στάθμη της θεμελίωσης στο ελεύθερο πεδίο.

Ας εστιάσουμε λοιπόν σε μια ήπια καταγραφή όπως η Εl Centro_180 του 1940 (Σχήμα 6).  Η καταγραφή Εl Centro_180 εξετάζεται για δύο λόγους: πρώτον διότι αποτελεί περίπτωση “σεισμού σχεδιασμού„ λόγω της μορφής του φάσματος απόκρισης σε όρους επιταχύνσεων και δεύτερον, διότι πρόκειται για καταγραφή μακρινού πεδίου, απαλλαγμένη από φαινόμενα κατευθυντικότητας, γεγονός που την καθιστά ιδανική για το μή–γραμμικό ελαστικό ελατήριο της μεθοδολογίας, το οποίο αδυνατεί να αποτυπώσει παραμένουσες στροφές.  Για συντελεστή ασφαλείας F_S = 3.3, η σύγκριση είναι πολύ καλή, τόσο σε όρους μεγίστων, όσο και χρονοϊστοριών, καθώς πράγματι, δεν εμφανίζεται σε καμία περίπτωση παραμένουσα στροφή του θεμελίου.

Στη συνέχεια θα ασχοληθούμε με μια ισχυρότερη καταγραφή (εντός όμως των ορίων εκείνων, ώστε να μην προκληθεί ανατροπή της κατασκευής), όπως τη Rinaldi_318 από τον σεισμό Northridge του 1994.  Σχετικά με την καταγραφή αυτή, η οποία για το εξεταζόμενο σύστημα αποτελεί μια ακραία περίπτωση φόρτισης, καθώς οδηγεί σε τιμή γωνίας στροφής 5 έως 10 φορές μεγαλύτερη απ’ότι η Εl Centro_180 (καθώς και όλες οι υπόλοιπες διεγέρσεις που εξετάστηκαν), η σύγκριση είναι πολύ καλή για F_S = 5 (Σχήμα 7), όπου δεν έχει προλάβει να συσσωρευθεί παραμένουσα στροφή θ.  Το γεγονός ότι η διέγερση αυτή είναι πολύ ισχυρή για το εν λόγω σύστημα φαίνεται και από τη χρονοϊστορία α – t, η οποία “κόβεται„ πολύ απότομα, και για μεγάλη διάρκεια εντός κάθε κύκλου, όταν η επιτάχυνση φτάσει στη μέγιστη τιμή της.  Για F_S = 2 (Σχήμα 8) όμως, η συσσώρευση στροφής είναι τέτοια, που η μεθοδολογία αδυνατεί να προβλέψει με επιτυχία τόσο τη μέγιστη τιμή της, όσο και τη χρονοϊστορία της.  Παρ’όλα αυτά, η εκτίμηση της συνολικής καθίζησης είναι ικανοποιητική και για τους δύο F_S.

Η ύπαρξη ενός παλμού κατευθυντικότητας στην επιβαλλόμενη διέγερση οδηγεί το σύστημα σε παραμένουσα στροφή θ_res, η οποία δεν μπορεί να γίνει “αντιληπτή„ από το ελατηριωτό προσομοίωμα. Συνεπώς οι προκύπτουσες χρονοϊστορίες διαφέρουν· η μια είναι μετατοπισμένη ως προς την άλλη περίπου κατά θ_res.  Εν γένει, πάντως, σε όρους μεγίστων τουλάχιστον, οι τιμές που προκύπτουν από το ελατηριωτό προσομοίωμα είναι ικανοποιητικές, όπως στην περίπτωση της Yarimca_060 (Σχήμα 9).

Συνολικά, μπορούμε να διακρίνουμε μεγαλύτερες διαφοροποιήσεις, σε όρους χρονοϊστοριών, στην περίπτωση του μικρότερου F_S = 2, όπου κυριαρχεί η κινητοποίηση της φέρουσας ικανότητας του εδάφους.  Ο μικρός F_S διευκολύνει τη συσσώρευση στροφής λόγω των εντονότερων πλαστικοποιήσεων, η οποία δεν αποτυπώνεται στο ελατήριο.  Το φαινόμενο που παρατηρείται για μικρό F_S = 2 επιδεινώνεται περαιτέρω από την παρουσία παλμού κατευθυντικότητας στο εκάστοτε επιταχυνσιογράφημα.  Θετικό πάντως είναι το γεγονός ότι η πρόβλεψη των μεγίστων τιμών στροφής και καθίζησης δείχνει σχετικά αναίσθητη στην εμφάνιση ή όχι παραμένουσας στροφής, όπως παρατηρείται φερ’ ειπείν στην καταγραφή της Καλαμάτας (Σχήμα 10).

Τα Σχήματα 12 & 13 περιέχουν τα συγκεντρωτικά αποτελέσματα για όλους τους σεισμούς και συντελεστές ασφαλείας.  Τα εν λόγω διαγράμματα παρουσιάζουν τη συσχέτιση μεταξύ μεγίστων τιμών στροφής maxθ_FEM & maxθ_SPR και δυναμικής καθίζησης max(w/B)_FEM & max(w/B)_SPR πλήρους και ελατηριωτού προσομοιώματος αντίστοιχα.  Παρατηρείται το εξής παράδοξο: η συσχέτιση της μέγιστης δυναμικής καθίζησης μεταξύ πλήρους και ελατηριωτού προσοιώματος είναι καλύτερη από εκείνη της γωνίας στροφής θ, παρ’όλο που υπολογίζεται όχι ευθέως, αλλά, μέσω μιας προσεγγιστικής σχέσης, από τη χρονοϊστορία στροφής!

Όλα τα αποτελέσματα που παρουσιάζονται έχουν εξαχθεί χρησιμοποιώντας για τη βαθμονόμηση των ελατηρίων τις απλοποιημένες καμπύλες Μ – θ, οι οποίες αποτελούνται από διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα.  Είναι προφανές. λοιπόν, ότι το πρόβλημα δεν παρουσιάζει ευαισθησία ως προς η μορφή των καμπυλών Μ – θ.  Μπορούμε να ισχυριστούμε μάλιστα ότι η βασικότερη πληροφορία είναι η τιμή της ροπής αντοχής, ύστερα η αρχική κλίση του οιονεί ελαστικού κλάδου, ενώ η συναρμογή μεταξύ των δύο αυτών περιοχών παίζει αμελητέο ρόλο.  Αυτό συμβαίνει διότι το πεδίο εφαρμογής του εν λόγω προβλήματος είναι η περιοχή μεγάλων παραμορφώσεων.

Η μεγαλύτερη δυσκολία που παρουσιάστηκε κατά τη διαμόρφωση της εν λόγω μεθοδολογίας ήταν κατά την επιλογή κατάλληλης τιμής για τον συντελεστή περιστροφικής απόσβεσης C_R.  Τα αποτελέσματα παρουσιάζουν μεγάλη ευαισθησία στη μεταβολή της τιμής αυτής (Σχήμα 11), εξού και ύστερα από πληθώρα δοκιμών διαπιστώθηκε ότι καλύτερη σύγκλιση προκύπτει όταν (α) ως συχνότητα ληφθεί η ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή για μηδενική γωνίας στροφής και (β) από το διάγραμμα C_R – θ ληφθεί η μέγιστη τιμή, η οποία αντιστοιχεί σε θ ≈ 10^-3.  Μια πιθανή εξήγηση για τη συγκεκριμένη επιλογή είναι η εξής:  οι διεγέρσεις που επιβάλλονται οδηγούν το σύστημα σε γωνίες μεγαλύτερες από θ ≈10^-3, περί τη θ ≈10^-2, όπου η τιμή του συντελεστή απόσβεσης C_R έχει ήδη μειωθεί (διότι για θ > 10^-3 το γινόμενο K_R·ξ συνεχώς μειώνεται).  Ταυτόχρονα, όμως, μεταβάλλεται (μειώνεται) και η λικνιστική ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή συναρτήσει της γωνίας στροφής θ.  Η μείωση αυτή έχει ακριβώς την αντίθετη επίδραση στην τιμή του C_R, απ’ότι προηγουμένως είχε το γινόμενο K_R·ξ, συμβάλλει δηλαδή στην αύξησή της.

 Συμπεράσματα

Η απλοποιημένη μή–γραμμική μεθοδολογία προβλέπει με επιτυχία τη μέγιστη στροφή και δυναμική καθίζηση του τετραγωνικού θεμελίου, οι οποίες έχουν πρακτικό ενδιαφέρον για τον σχεδιασμό, ενώ σε πολλές περιπτώσεις επιτυγχάνει και την αναπαραγωγή ολόκληρης της χρονοϊστορίας στροφής.  Η σημαντικότερη δυσκολία που παρουσιάστηκε κατά τη διάρκεια της ανάπτυξης της παρούσας αφορούσε τον προσδιορισμό της τιμής του συντελεστή απόσβεσης C_R.  Απ’ ότι φαίνεται, στην επιλογή ορθής τιμής C_R βρίσκεται το κλειδί της επιτυχίας της μεθοδολογίας, καθώς πρόκειται για την καθοριστικότερη παράμετρο του προβλήματος.