Σύμφωνα με τους σύγχρονους κανονισμούς η κατασκευή επιτρέπεται να παραμορφωθεί στην πλαστική περιοχή.  Η ακριβέστερη μέθοδος που διατίθεται σήμερα για την ανάλυση της ανελαστικής συμπεριφοράς είναι η μη γραμμική δυναμική ανάλυση με χρονοϊστορίες φόρτισης. Σύμφωνα με τη μέθοδο ολοκληρώνονται εν χρόνω οι εξισώσεις κίνησης, απαιτείται όμως εξειδικευμένο λογισμικό, ενώ τα αποτελέσματα επηρεάζονται ιδιαίτερα από το επιταχυνσιογράφημα που επιλέγεται κάθε φορά. Αναπτύχθηκαν λοιπόν στατικές μέθοδοι για τον υπολογισμό της ανελαστικής απόκρισης, οι οποίες είναι απλούστερες. Χαρακτηριστική μεθοδολογία μεθοδολογία ανάλυσης, είναι η στατική ανελαστική ανάλυση.

Η μέθοδος αυτή (SPA: Single Pushover Analysis) εκτιμά την ικανότητα της κατασκευής, όσο και την απαίτηση που η σεισμική δράση επιβάλλει σε αυτήν. Εν συνεχεία εξασφαλίζει ότι η ικανότητα μπορεί να ανταποκρίνεται στην απαίτηση. Η ικανότητα της κατασκευής αντιστοιχεί στην εύρεση του διαγράμματος τέμνουσας βάσης-μετακίνησης του σημείου αναφοράς (εικόνα 1). Στη συνέχεια η μέθοδος υποκαθιστά το πολυβάθμιο σύστημα με ισοδύναμο μονοβάθμιο σύστημα κατάλληλων υστερητικών και άλλων χαρακτηριστικών. Αρκεί λοιπόν η εξέταση μόνο της  1^ης θεμελιώδους ιδιομορφής. Με χρήση και του φάσματος απαίτησης αλλά και κάποιας κατάλληλης διαδικασίας βρίσκεται η απαίτηση σε μετακίνηση. Η απαίτηση αντιστοιχεί στην εκτίμηση της μέγιστης αναμενόμενης σεισμικής απόκρισης της κατασκευής. Αρχικά βρίσκεται μετακίνηση που αντιστοιχεί στο ισοδύναμο μονοβάθμιο σύστημα και τελικά βρίσκεται η μετακίνηση u_rn του σημείου αναφοράς του πολυβαθμίου συστήματος (στοχευόμενη μετακίνηση). Τελικώς γίνεται στατική ανελαστική ανάλυση που αντιστοιχεί στην u_rn και υπολογίζεται η τελική απόκριση του φορέα.  Οι δύο βασικοί μέθοδοι εύρεσης της απαίτησης είναι αυτοί του φάσματος ικανότητας (ATC-40) και του συντελεστή μετακίνησης (FEMA356). Στο σύγγραμμα της FEMA440 γίνεται βελτίωση των δύο μεθόδων.

Η επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών στην τελική απόκριση του φορέα σε μερικές κατασκευές είναι σημαντική. Έχουν προταθεί από ερευνητές σύνθετες στατικές ανελαστικές μέθοδοι που λαμβάνουν υπόψη και τις ανώτερες ιδιομορφές. Η συμπεριφορά των γεφυρών σπάνια περιγράφεται ικανοποιητικά από την πρώτη μόνο ιδιομορφή. Σύμφωνα με την Ιδιομορφική Στατική Ανελαστική Ανάλυση (ΙΑΣΑ), η Κλασσική Στατική Ανελαστική Ανάλυση εκτελείται για κάθε σημαντική ιδιομορφή ανεξάρτητα, όπου τα ελαστικά ιδιομορφικά φορτία εφαρμόζονται ως αμετάβλητες σεισμικές κατανομές δυνάμεων. Η οριζόντια κατανομή δυνάμεων είναι ανάλογη της μορφής της ιδιομορφής κάθε φορά. Οι καμπύλες ικανότητας που προκύπτουν μετατρέπονται σε καμπύλες ικανότητας μονοβάθμιου ταλαντωτή με κάποια μέθοδο. Τα μεγέθη που χρειάζεται να εκτιμηθούν υπολογίζονται για κάθε ιδιομορφή ξεχωριστά και στη συνέχεια συνδυάζονται με κάποιο κατάλληλο κανόνα.

Εικόνα 1: Καμπύλη ικανότητας στατικής ανελαστικής ανάλυσης. Η μορφή της φόρτισης παραμένει σταθερή.

 

Τα βασικά βήματα της ΙΑΣΑ έχουν προταθεί από τους Chopra and Goel. Η ΙΑΣΑ θα μπορούσε να διεξαχθεί με εφαρμογή των διατάξεων της FEMA440 για την εύρεση των στοχευόμενων μετακινήσεων. Η συγκεκριμένη εργασία όμως βασίζεται στη μέθοδο των Goel and Chopra όπως ειδικότερα μπορεί να εφαρμοστεί σε γέφυρες (Κάππος, Παρασκευά, Σέξτος). Η ΙΑΣΑ είναι γνωστή και ως MPA (Modal Pushover Analysis). Κατά την εφαρμογή της μεθόδου αυτής, είναι καθοριστικής σημασίας η επιλογή του σημείου αναφοράς για τον έλεγχο της μετακίνησης. Στα πρώτα 5 κεφάλαια της εργασίας παρουσιάζεται το θεωρητικό υπόβαθρο των μη-γραμμικών μεθόδων ανάλυσης.

Ο φορέας (εικόνα 2) βασίζεται σε μια πραγματική γέφυρα, συγκεκριμένα στον αριστερό κλάδο της γέφυρας Γ7 στο τμήμα Μέτσοβο – Παναγιά η οποία κατασκευάστηκε με την μέθοδο της προβολοδόμησης. Για τις αναλύσεις χρησιμοποιείται το πρόγραμμα SAP2000 V.15. Το 6^ο κεφάλαιο περιγράφει τον τρόπο δημιουργίας του προσομοιώματος στο πρόγραμμα. Σχετικά με την προσομοίωση των προβλεπόμενων πλαστικών αρθρώσεων (κορυφή και βάση τόσο του Μ1, όσο και του Μ2) θα πρέπει να σημειωθούν τα εξής: 1. Το περισφιγμένο σκυρόδεμα προσομοιώθηκε με το μοντέλο του Mander, το οποίο δεν ισχύει για κοίλες διατομές. Έτσι δημιουργούνται 2 διατομές ι. η  διατομή PIER2 όπου λαμβάνεται υπόψη η περίσφιξη για διάνυσμα ροπής παράλληλα προς τον ασθενή άξονα (θεώρηση θλίψης του μεγάλου τοιχώματος της διατομής) και ιι. η διατομή PIER3 όπου λαμβάνεται υπόψη η περίσφιξη για διάνυσμα ροπής παράλληλα προς τον ισχυρό άξονα (θεώρηση θλίψης του μικρού τοιχώματος). Από τις PIER2 και PIER3 λαμβάνονται τα αντίστοιχα διαγράμματα ροπών-καμπυλοτήτων (4 από την κάθε μια) αφού πρώτα βρεθούν οι αξονικές λόγω ίδιου βάρους στις 4 θέσεις (γραμμική στατική ανάλυση). 2. Οι πλαστικές αρθρώσεις είναι της μορφής P-M2-M3. Απαιτείται η εισαγωγή 3 διαγραμμάτων αλληλεπίδρασης. Τα 2 από αυτά προκύπτουν από τις PIER2 (όπου η Μ3=0) και PIER 3 (όπου η Μ2=0). Για το 3^ο δημιουργούμε την PIER4 όπου γίνεται θεώρηση θλίψης της γωνίας της διατομής. Προκύπτει έτσι τόσο το αντίστοιχο σ-ε διάγραμμα όσο και το ζητούμενο διάγραμμα αλληλεπίδρασης. Για τα μήκη των πλαστικών αρθρώσεων χρησιμοποιείται η σχέση: Lp=0.08·L+0.022·db·fy (MPa). Για τις στάθμες επιτελεστικότητας, χρησιμοποιήθηκε το “Update to ASCE/SEI 41 Concrete Provisions”.

Εικόνα 2: Διατομή της ανωδομής (C35/45) και διατομή του μεσοβάθρου (C30/37, Χάλυβας S500s, 7.35m X 4.00m (t=0.75m), Διαμήκης οπλισμός 252Φ28(1.05%), Εγκάρσιος οπλισμός περίσφιγξης Φ14/10).

Η εργασία έχει ως στόχο να εφαρμόσει την MPA στη  γέφυρα που περιγράφηκε και να συγκρίνει τις μετακινήσεις που υπολογίζει η μέθοδος με εκείνες που προκύπτουν από την NLTHA. Το 7^ο κεφάλαιο περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο γίνονται οι αναλύσεις στο πρόγραμμα. Για τις NLTHA χρησιμοποιήθηκαν 4 τεχνητά επιταχυνσιογραφήματα των οποίων τα φάσματα αντιστοιχούν στο φάσμα του ΕΑΚ. Για τις στατικές ανελαστικές χρησιμοποιούνται 3 σημεία αναφοράς: το άνω άκρο του Μ1, το κέντρο μάζας της ανωδομής, και το άνω άκρο του Μ2. Διενεργείται ιδιομορφική ανάλυση και επιλέγονται ορισμένες ιδιομορφές στη διαμήκη και στην εγκάρσια διεύθυνση. Μελετούνται 3 επίπεδα σεισμικής διέγερσης (σεισμός σχεδιασμού, διπλάσιος, τριπλάσιος). Αρχικά γίνονται 117 αναλύσεις (3επίπεδα x3σημεία x13ιδιομορφές) για την εύρεση των καμπυλών αντίστασης με βάση τις οποίες υπολογίζονται οι στοχευόμενες μετακινήσεις. Η εικόνα 3 δείχνει 2 από τις καμπύλες αυτές. Η εικόνα 4 δίνει ένα παράδειγμα του τρόπου εύρεσης της στοχευόμενης μετακίνησης όταν η ανάλυση εισέρχεται στην πλαστική περιοχή (για φορτίο σύμφωνα με τις 2 πρώτες ιδιομορφές). Στην παρούσα εργασία για την εύρεση των στοχευόμενων μετακινήσεων εφαρμόζεται η μέθοδος με τη χρήση των ανελαστικών φασμάτων πλαστιμότητας. Η εικόνα 5 δίνει ένα παράδειγμα τρόπου εύρεσης της στοχευόμενης μετακίνησης για τις αναλύσεις που αφορούν τις ανώτερες ιδιομορφές.

Εικόνα 3: Καμπύλες ικανότητας για τις αναλύσεις με φορτίο σύμφωνα με τις 2 πρώτες ιδιομορφές για τον διπλάσιο και τον τριπλάσιο σεισμό. Χρησιμοποιήθηκε στοχευόμενη μετακίνηση 1,5 μ. Σε όλες τις άλλες περιπτώσεις είχε χρησιμοποιηθεί το 0,5μ.

Εικόνα 4: Τρόπος εύρεσης της στοχευόμενης μετακίνησης για τις αναλύσεις με φορτίο σύμφωνα με τις 2 πρώτες ιδιομορφές. Όλες αυτές οι αναλύσεις εισέρχονται στην πλαστική περιχοχή. Ενδεικτικά δίνεται για τον αρχικό σεισμό και το άνω άκρο του Μ1. Η διγραμμικοποίηση γίνεται μέσω FEMA 273.

Εικόνα 5: Τρόπος εύρεσης της στοχευόμενης μετακίνησης για τις αναλύσεις με φορτίο σύμφωνα με τις ανώτερες ιδιομορφές.

Το 8^ο και τελευταίο κεφάλαιο παρουσιάζει τα αποτελέσματα και τα συμπεράσματα. Μετά την εύρεση όλων των στοχευόμενων μετακινήσεων γίνονται με χρήση αυτών 117 αναλύσεις αντιστοίχως. Τα αποτελέσματα των μετακινήσεων  συνδυάζονται με την SRSS. Προκύπτουν έτσι οι μετακινήσεις της MPA οι οποίες όμως ήταν πολύ κοντά με τις μετακινήσεις της SPA. Οι μετακινήσεις της NLTHA λοιπόν συγκρίνονται με αυτές της SPA (εικόνα 6). Για τον σεισμό σχεδιασμού παρατηρείται ότι οι μετακινήσεις προσεγγίζουν εκείνες της δυναμικής ανάλυσης αν και υπάρχουν σφάλματα κατά της ασφαλείας. Η επιλογή του σημείου αναφοράς δεν επηρέασε ιδιαιτέρως τα αποτελέσματα για τη διαμήκη διεύθυνση. Για την εγκάρσια όμως είναι προφανές ότι για την εκλογή του άνω άκρου του Μ2 προσεγγίζονται καλύτερα οι μετακινήσεις της NLTHA. Για το διπλάσιο σεισμό παρατηρείται ότι τα σφάλματα δεν είναι αποδεκτά. Η επιλογή του σημείου αναφοράς και πάλι δεν επηρέασε στην διαμήκη διεύθυνση, ενώ αντίθετα στην εγκάρσια οι μετακινήσεις προσεγγίζονται καλύτερα για την επιλογή του άνω άκρου του Μ2.

Για τον τριπλάσιο σεισμό θα πρέπει να σημειωθεί ότι για τη διαμήκη διεύθυνση και για την ανάλυση με το 3^ο επιταχυνσιογράφημα η NLTHA έδειξε ότι η πλαστική άρθρωση στη βάση του Μ1 φτάνει στην οριακή της παραμόρφωση. Η στατική μέθοδος (οι 3 ανεξάρτητες στατικές ανελαστικές αναλύσεις για φορτίο σύμφωνα με την 1^η ιδιομορφή και για τα 3 σημεία αναφοράς) δεν μπόρεσε να το προβλέψει αυτό. Κατά συνέπεια για τη διαμήκη διεύθυνση για την περιβάλλουσα λήφθηκαν υπόψη μόνο οι 3 αναλύσεις που αντιστοιχούν στα άλλα 3 επιταχυνσιογραφήματα. Για τη διαμήκη διεύθυνση και για τον τριπλάσιο σεισμό, λοιπόν, τα σφάλματα της στατικής μεθόδου στις μετακινήσεις γίνονται ακόμη μεγαλύτερα ενώ η επιλογή του σημείου αναφοράς δεν είχε ιδιαίτερη επίδραση. Για την εγκάρσια διεύθυνση δεν σχεδιάστηκαν καν διαγράμματα. Αυτό συνέβη γιατί η μόνη δυναμική ανάλυση που πραγματοποιήθηκε ολόκληρη και που δεν έδειξε ότι κάποια πλαστική άρθρωση έφτασε στην οριακή της παραμόρφωση, ήταν εκείνη για το 1^ο επιταχυνσιογράφημα. Θεωρήθηκε ότι δεν έχει ιδιαίτερο νόημα να γίνει η σύγκριση της στατικής και της δυναμικής μεθόδου, όταν η δυναμική αντιστοιχεί σε ένα μόνο επιταχυνσιογράφημα.

Εικόνα 6: Διαγράμματα μετακινήσεων (σύγκριση SPA-NLTHA) για τον σεισμό σχεδιασμού και για τον διπλάσιο σεισμό. Τα διαγράμματα για τη διαμήκη διεύθυνση για τα άλλα 2 σημεία αναφοράς είναι παρεμφερή.