Οι προσομοιώσεις των κατασκευών απαιτούν τη χρήση πολύπλοκων μοντέλων έτσι ώστε να είναι ακριβείς σύμφωνα με τα πειραματικά δεδομένα. Αφού εφαρμόσουμε μια τεχνική πεπερασμένων στοιχείων, καταλήγουμε σε ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων με τις οποίες ο μηχανικός μπορεί να εκτιμήσει ποσοτικά και ποιοτικά την κρίσιμη συμπεριφορά της κατασκευής που εξετάζει.

Στην περίπτωση της γραμμικής συμπεριφοράς του συστήματος, η οποία είναι μια εξιδανίκευση στις εφαρμογές μηχανικού, υπάρχει μια καθιερωμένη θεωρία. Η έννοια της ιδιομορφής σε αυτή τη θεωρία ταλαντώσεων είναι θεμελιώδης. Μια πληθώρα από τεχνικές, βασισμένη στις γραμμικές ιδιομορφές (ΓΙ), έχει εφαρμοσθεί σε επιστημονικά πεδία όπως της αντισεισμικής τεχνολογίας. Οι μαθηματικές ιδιότητες των γραμμικών ιδιομορφών βοηθούν στην κατανόηση του τρόπου με τον οποίο ένα γραμμικό σύστημα ταλαντώνεται. Ειδικότερα, η παρατήρηση ότι οι εξισώσεις κίνησης μπορούν να αποσυζευχθούν, απλοποιεί τον τρόπο με τον οποίο το σύστημα αποκρίνεται, διότι μπορούμε να εκμεταλλευτούμε τις δύο χρήσιμες ιδιότητες των γραμμικών ιδιομορφών. Πρώτον, η ιδιότητα της αναλλοίωτης ως προς την κίνηση εκφράζεται από το γεγονός ότι εάν η κίνηση ξεκινήσει από μια συγκεκριμένη ιδιομορφή παραμένει σε αυτό τον τρόπο ταλάντωσης για κάθε χρόνο. Δεύτερον, υπάρχει η ιδιότητα της ιδιομορφικής υπέρθεσης με την οποία οι ταλαντώσεις μπορούν να εκφραστούν ως γραμμικοί συνδυασμοί ξεχωριστών γραμμικών ιδιομορφικών κινήσεων.

Παρόλο που η προαναφερθείσα θεωρία είναι οικεία στους μηχανικούς, οι σύγχρονες απαιτήσεις σχεδιασμού και η πολυπλοκότητα των προβλημάτων καθιστούν αναγκαία την εξέταση των μη γραμμικών χαρακτηριστικών. Επομένως, υπάρχει η ανάγκη για αποτελεσματικές και ευρέως εφαρμόσιμες μεθόδους ανάλυσης για τη μη γραμμική δυναμική απόκριση συστημάτων. Σε αυτή τη μεταπτυχιακή εργασία γίνεται η προσπάθεια να παρουσιαστεί η έννοια της μη γραμμικής ιδιομορφής (ΜΓΙ) που είναι μια επέκταση της γνωστής έννοιας των γραμμικών ιδιομορφών σε μη γραμμικά συστήματα. Οι ΜΓΙ θέτουν τα θεμέλια για την ερμηνεία της συμπεριφοράς των μη γραμμικών συστημάτων, διότι μπορούν να αναδείξουν μη γραμμικά φαινόμενα που δεν υπάρχουν στη γραμμική θεωρία.

Στο κεφάλαιο 1 υπάρχει μια σύντομη εισαγωγή στην κλασσική θεωρία ταλαντώσεων. Περιγράφεται η περίπτωση συντηρητικών συστημάτων και ο τρόπος με τον οποίο υπολογίζονται τα ιδιοδιανύσματα και οι ιδιομορφές μέσω της επίλυσης της χαρακτηριστικής εξίσωσης. Επιπλέον, η περίπτωση μη συντηρητικών συστημάτων παρουσιάζεται, επειδή η έννοια των ιδιολύσεων μπορεί να ορισθεί και σε αυτά τα συστήματα. Σε αυτό το κεφάλαιο, όλες οι λεπτομέρειες που παρουσιάζονται είναι για εισαγωγικό σκοπό του υπόλοιπου τμήματος της εργασίας.

Στο κεφάλαιο 2 υπάρχει ο πιο άμεσος ορισμός της ΜΓΙ. Το 1960, ο R. M. Rosenberg θεώρησε ότι ένα συντηρητικό μη γραμμικό σύστημα ταλαντώνεται σε μια ιδιομορφή, όταν όλες οι μάζες εκτελούν περιοδικές κινήσεις της ίδιας περιόδου και οι οποίες διέρχονται ταυτόχρονα από το σημείο ισορροπίας, ενώ παράλληλα,  σε κάθε χρονική στιγμή η θέση της κάθε μάζας προσδιορίζεται μονοσήμαντα από τη θέση μιας οποιασδήποτε από αυτές. Με άλλα λόγια, μια ΜΓΙ είναι μια συγχρονισμένη ταλάντωση του συστήματος. Αυτός ο ορισμός είναι συνεπής ως προς τις ΓΙ που εμφανίζονται σε ένα γραμμικό σύστημα.

Υπάρχουν διαφορετικές μέθοδοι για τον υπολογισμό των ΜΓΙ ενός διακριτού συστήματος. Παρόλο που οι πρώτες τεχνικές ήταν αναλυτικές, η μεταπτυχιακή εργασία εστιάζει σε δύο υπολογιστικές μεθόδους. Η μια μέθοδος περιγράφηκε από τους M. Peeters, R. Vinguié, G. Sérandour, G. Kerschen and J-C. Golinval το 2009. Αυτή η μέθοδος στηρίζεται σε δύο βασικά βήματα, που καλούνται διαδικασία σκόπευσης και pseudo-arclength τεχνική συνέχειας των ΜΓΙ. Αυτά τα δύο βήματα πραγματοποιούνται διαδοχικά και επαναλαμβάνονται ξεκινώντας από μια γνωστή γραμμική ιδιομορφή (για χαμηλές ενέργειες) με σκοπό να σχεδιαστεί το διάγραμμα συχνότητας-ενέργειας (FEP). Σε κάθε ενεργειακό επίπεδο υπάρχουν διαφορετικές ιδιομορφές και κατ’ επέκταση υπάρχει η ανάγκη σχεδιάσης αυτού του διαγράμματος. Η άλλη αριθμητική μέθοδος προσδιορισμού ΜΓΙ περιγράφτηκε από τον J. Slater το 1996. Η προαναφερθείσα μέθοδος χρησιμοποιεί αλγόριθμο βελτιστοποίησης με στόχο να ελαχιστοποιήσει τη συνάρτηση κόστους που σχετίζεται με την περιοδική συνθήκη. Εάν μπορούμε να βρούμε τις αρχικές συνθήκες και τον χρόνο με τους οποίους η αντικειμενική συνάρτηση λαμβάνει ελάχιστο, τότε αυτές οι συνθήκες και η περίοδος του χρόνου δημιουργούν μια περιοδική λύση (ΜΓΙ κατά Rosenberg)

Στο κεφάλαιο 3 παρουσιάζεται μια μεθοδολογία που επεκτείνει στα μη συντηρητικά συστήματα την έννοια της ΜΓΙ. Ο Shaw και ο Pierre όρισαν μια γραμμική ιδιομορφή ως την κίνηση που λαμβάνει χώρα σε μια δισδιάστατη αναλλοίωτη πολλαπλότητα στο χώρο φάσης του συστήματος. Βασισμένοι σε αυτόν τον ορισμό και απαλείφοντας τον χρόνο από το πρόβλημα, καταλήγουμε σε ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων που περιγράφει τη γεωμετρία της πολλαπλότητας. Επειδή, οι αναλυτικές προσεγγίσεις ισχύουν για ασθενώς μη γραμμικά συστήματα σε τοπικό επίπεδο αναπτύχθηκε με τη συνεισφορά και του E. Pesheck μια τύπου Galerkin προσέγγιση για τις ΜΓΙ. Στη μεταπτυχιακή εργασία απεικονίζεται η γεωμετρία των πολλαπλοτήτων που παράγονται σύμφωνα με την τελευταία μέθοδο.

Στο κεφάλαιο 4 εξετάζεται μια διβάθμια διατμητική κατασκευή. Αυτή η εφαρμογή επιλέχθηκε με σκοπό να αναδειχθούν μη γραμμικά φαινόμενα που συμβαίνουν σε μια κατασκευή πολιτικού μηχανικού. Υπολογίζουμε τις ΜΓΙ για τη συγκεκριμένη κατασκευή και τις συγκρίνουμε με τις γραμμικές ιδιομορφές. Είναι προφανές ότι χρησιμοποιώντας τις γραμμικές ιδιομορφές σε αναλύσεις θα προκύψουν αποκλίσεις από την πραγματική συμπεριφορά της κατασκευής.

Μια λύση αυτού του προβλήματος είναι η ανάπτυξη δυναμικών μοντέλων με λιγότερους βαθμούς ελευθερίας. Η έλλειψη της αρχής της υπέρθεσης θα δημιουργήσει δυσκολίες σε αυτήν την προσπάθεια. Αυτό το πεδίο είναι ανοιχτό για μελλοντική έρευνα με σκοπό τη δημιουργία μη γραμμικής ιδιομορφικής ανάλυσης με χρήση των ΜΓΙ.