Η παρούσα μεταπτυχιακή διπλωματική εργασία αποτελεί μια συνέχιση της προσπάθειας χρήσης της θεωρίας παιγνίων σε προβλήματα βελτιστοποίησης του σχεδιασμού των κατασκευών, η οποία ξεκίνησε από τον Γεράσιμο Παναγιωτακόπουλο στην εργασία «Βέλτιστος Σχεδιασμός Κατασκευών με Χρήση Θεωρίας Παιγνίων». Ο βέλτιστος σχεδιασμός αποτελεί μια διαδικασία συμβιβασμού των επιθυμητών χαρακτηριστικών της κατασκευής, δηλαδή της ασφάλειας και λειτουργικότητας, με την οικονομικότητα. Η Θεωρία Παιγνίων, ως κατεξοχήν θεωρία ανάλυσης στρατηγικών, παρέχει πολύτιμες συμβουλές σχετικά με την αξιολόγηση καταστάσεων και τη λήψη αποφάσεων. Είναι σε θέση, λοιπόν, να αποτελέσει ένα πολύτιμο εργαλείο στα χέρια του μηχανικού, σε πολλά προβλήματα που απαιτούν κρίση και ιδιαίτερα σε εφαρμογές βελτιστοποίησης.

Στο Κεφάλαιο 1 γίνεται μια εισαγωγή σε έννοιες της θεωρίας παιγνίων, ούτως ώστε ο αναγνώστης να εξοικειωθεί με το αντικείμενό της. Αρχικά, εκτίθεται μια σειρά από βασικά παίγνια που παρουσιάζουν με απλό και σαφή τρόπο τη λογική της θεωρίας παιγνίων. Ακολούθως, γίνεται αναφορά σε βασικές έννοιες, όπως είναι η ωφέλεια και η Ισορροπία Nash. Το κεφάλαιο αυτό έχει αποκλειστικό στόχο να εξοικειώσει με τις βασικές έννοιες της θεωρίας παιγνίων και δεν περιλαμβάνει μαθηματικές σχέσεις.

Το Κεφάλαιο 2 είναι περισσότερο προσανατολισμένο σε μαθηματικούς υπολογισμούς. Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται οι τρόποι με τους οποίους είναι δυνατή η εύρεση Ισορροπίας Nash. Οι κυριότερες μέθοδοι που αναφέρονται είναι η διαδοχική διαγραφή κυριαρχούμενων στρατηγικών και η μέθοδος της πίσω επαγωγής, και αφορούν Ισορροπίες Nash με χρήση καθαρών στρατηγικών.

 Στο Κεφάλαιο 3 παρουσιάζεται το πρόβλημα του βέλτιστου σχεδιασμού των κατασκευών, όπως αυτό ορίζεται και επιλύεται στην παρούσα εργασία και εν συνεχεία εξηγείται η μεθοδολογία που χρησιμοποιείται, δηλαδή η Μέθοδος Μεγιστοποίησης Ελάχιστης Ωφέλειας. Η μέθοδος αυτή παρέχει τη δυνατότητα επιλογής αντικειμενικής συνάρτησης διαφορετικής από αυτήν του κλασικού προβλήματος του οικονομικότερου σχεδιασμού, ενώ παράλληλα επιτρέπει τη χρήση περιορισμών που αφορούν οποιαδήποτε πιθανή μεταβλητή σχεδιασμού, συμπεριλαμβανομένων και των οικονομικών πόρων. Σύμφωνα με τη Μέθοδο Μεγιστοποίησης Ελάχιστης Ωφέλειας, το διακριτό πρόβλημα βέλτιστου σχεδιασμού των κατασκευών προσομοιώνεται ως παίγνιο, με παίκτες τον αμυνόμενο, που «υπερασπίζεται» τον φορέα διαχειριζόμενος τις διαθέσιμες επιλογές διατομών και τον επιτιθέμενο, ο οποίος επιλέγει τον τρόπο που θα πλήξει το φορέα, ανάμεσα σε κάποια προκαθορισμένα σενάρια φόρτισης που περιγράφουν οι κανονισμοί ή και άλλες πρόσθετες φορτίσεις. Παράλληλα, η μέθοδος προσδιορίζει την ωφέλεια των δύο παικτών ανάλογα με τα αποτελέσματα (σε όρους τάσεων, μετακινήσεων, φορτικού συντελεστή και χρηματικών δαπανών) που προκύπτουν από τις κινήσεις τους. Το παίγνιο προσομοιώνεται με τέτοιο τρόπο, ώστε να είναι πλήρως ανταγωνιστικό, αποκλείοντας κάθε δυνατότητα συνεργασίας μεταξύ των δύο παικτών. Εν συνεχεία, η επίλυση γίνεται με τη χρήση της θεωρίας παιγνίων και τη μέθοδο της πίσω -επαγωγής. Με αυτό τον τρόπο εντοπίζονται ταυτόχρονα ο βέλτιστος σχεδιασμός της κατασκευής, καθώς και η κρίσιμη φόρτιση που θα δεχτεί στην Ισορροπία Nash.

 Το Κεφάλαιο 4 αναφέρεται στις δυσκολίες που παρουσιάζονται λόγω του μεγάλου μεγέθους των προβλημάτων και προτείνει ως λύση τους ευρετικούς αλγορίθμους. Η εγγενής δυσκολία της μεθοδολογίας έγκειται στην συνδυαστική έκρηξη όλων των πιθανών συνδυασμών που συγκροτούν το χώρο των λύσεων, η πλήρης εξέταση των οποίων απαιτεί μεγάλο υπολογιστικό χρόνο και μνήμη υπολογιστή, σε σημείο που η χρήση της να καθίσταται ασύμφορη. Η αδυναμία αυτή οφείλεται στο ότι, ακόμα και για μικρού μεγέθους προβλήματα, οι πιθανές στρατηγικές που είναι διαθέσιμες στον αμυνόμενο είναι μεν πεπερασμένες, αλλά ταυτόχρονα πολυπληθείς. Η Θεωρία Παιγνίων προϋποθέτει τη διαδοχική εξέταση όλων των στρατηγικών, γεγονός που καθιστά ασύμφορη τη μέθοδο στην κλασική της μορφή. Για το λόγο αυτό γίνεται χρήση δύο ευρετικών αλγορίθμων (heuristics), οι οποίοι στοχεύουν στο να εντοπίσουν τη βέλτιστη λύση σε μικρό χρονικό διάστημα, εξετάζοντας κατάλληλα επιλεγμένο τμήμα του χώρου των λύσεων. Η λειτουργία τους, μολονότι περιορίζει τη βεβαιότητα εύρεσης της μαθηματικά βέλτιστης λύσης, παρέχει καλές προϋποθέσεις εύρεσης καλών λύσεων στη περιοχή της θεωρητικά βέλτιστης λύσης. Ο ένας εκ των αλγορίθμων που χρησιμοποιήθηκαν αφορά στην Προσομοιωμένη Ανόπτηση (simulated annealing), ενώ ο δεύτερος στη Σταδιακή Απομείωση (gradual reduction). Στην περίπτωση της Σταδιακής Απομείωσης, έγιναν ορισμένες επεμβάσεις για τη βελτίωση της απόδοσής της, ενώ αναπτύχθηκε μια σειρά τεχνικών που αποσκοπούν στην ενίσχυση της αποτελεσματικότητάς της. Ο συνδυασμός της Μεθόδου Μεγιστοποίησης Ελάχιστης Ωφέλειας (maximization of minimum utility) και των ευρετικών αλγορίθμων, παρέχει ένα ισχυρό εργαλείο διακριτής βελτιστοποίησης, ικανό για επίλυση πλήθους προβλημάτων.

Στο Κεφάλαιο 5 παρουσιάζεται μια σειρά αριθμητικών εφαρμογών που αφορούν προβλήματα διαστασιολόγησης με ελαστική αλλά και πλαστική ανάλυση, τοπολογίας και ελαχιστοποίησης μετακίνησης με οικονομικούς περιορισμούς. Η εγκυρότητα της μεθόδου επαληθεύεται επιλύοντας ήδη γνωστά προβλήματα από τη βιβλιογραφία.

Στο Κεφάλαιο 6 παρουσιάζονται τα συμπεράσματα της εργασίας και προτείνονται ιδέες για μελλοντική έρευνα. Τόσο η Μέθοδος Μεγιστοποίησης Ελάχιστης Ωφέλειας όσο και οι ευρετικοί αλγόριθμοι που χρησιμοποιήθηκαν για την επιτάχυνση της μεθόδου έχουν λειτουργήσει ικανοποιητικά. Έχει γίνει προσπάθεια βελτίωσης τόσο της ταχύτητας των αλγορίθμων, όσο και της αποτελεσματικότητας αυτού της Σταδιακής Απομείωσης με την χρήση των τεχνικών που αναπτύχθηκαν, η οποία κρίνεται επιτυχής βάσει των αποτελεσμάτων. Η προτεινόμενη μεθοδολογία μπορεί να λύσει κάθε πρόβλημα βελτιστοποίησης, εφόσον το πρόβλημα αυτό έχει οριστεί κατάλληλα. Ο φορέας προς βελτιστοποίηση επιτρέπεται να είναι δικτύωμα, πλαίσιο ή οποιαδήποτε άλλης μορφής. Παράλληλα, η προτεινόμενη μεθοδολογία καθιστά δυνατή τη μελέτη πλήθους σεναρίων φόρτισης.

Λέξεις - Κλειδιά: Βέλτιστος Σχεδιασμός Κατασκευών, Θεωρία Παιγνίων, Ισορροπία Nash, συνάρτηση ωφέλειας, ελαχιστοποίηση βάρους, βελτιστοποίηση τοπολογίας, βελτιστοποίηση σχήματος, οικονομικοί περιορισμοί, ευρετικοί αλγόριθμοι, προσομοιωμένη ανόπτηση, bloom filters.