Παρά το γεγονός ότι η παγκόσμια αγορά σχεδιαστικών προγραμμάτων (CAD, Computer-Aided Design) αναπτύσσεται με εντυπωσιακό σύνθετο ετήσιο ρυθμό ανάπτυξης, οι μηχανικοί δεν μπορούν να επωφεληθούν από την ανάπτυξη αυτή και από τις πρόσφατες προηγμένες τεχνικές σχεδιασμού CAD, όπως είναι οι NURBS και οι T-SPLines. Κύριο εμπόδιο αποτελεί το γεγονός ότι οι μηχανικοί έχουν περιορισμένες γνώσεις υπολογιστικής γεωμετρίας, ενώ οι σχεδιαστές δεν γνωρίζουν υπολογιστική μηχανική. Αξιοσημείωτο είναι το γεγονός ότι η επίλυση προβλημάτων μηχανικού με πολύπλοκη γεωμετρία και μεγάλο πλήθος βαθμών ελευθερίας εξακολουθεί να συνιστά μία πρόκληση, παρά τη ραγδαία βελτίωση των υπολογιστών τις τελευταίες δεκαετίες.    

Ο σκοπός της συγκεκριμένης διπλωματικής εργασίας είναι η εφαρμογή της νέας ισογεωμετρικής μεθόδου με τη χρήση ενός νέου πρωτοποριακού λογισμικού, του λογισμικού Geomiso, σε επιφανειακούς φορείς και η σύγκριση με την κλασική μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων. Το λογισμικό Geomiso (geomiso.com) είναι το πρώτο παγκοσμίως «δύο σε ένα» λογισμικό ισογεωμετρικής ανάλυσης και σχεδιασμού, το οποίο ενοποιεί πλήρως τον σχεδιασμό σε υπολογιστή ενός φορέα με τη μηχανική του ανάλυση (Computer-Aided Engineering, CAE)    

Η νέα ισογεωμετρική μέθοδος (Isogeometric Method, IGM), η οποία εισήχθη από τους J. Austin Cottrell, Thomas J.R. Hughes και Yuri Bazilevs, αποτελεί την εξέλιξη και την ισχυρή γενίκευση της κλασικής μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων (Finite Element Method, FEM) και αναμένεται εντός των επόμενων δεκαετιών να την αντικαταστήσει σε όλο το φάσμα εφαρμογών της. Η ισογεωμετρική ανάλυση δίνει τη δυνατότητα στον μηχανικό να αξιοποιεί πλήρως τις πληροφορίες του σχεδίου και να εργάζεται πάντα με την ακριβή γεωμετρία. Αυτό είναι εφικτό, καθώς η νέα μέθοδος αξιοποιεί τις συναρτήσεις σχήματος που παράγουν το σχέδιο και για την αριθμητική ανάλυση, με αποτέλεσμα να μην απαιτείται πλέον εκ νέου γένεση ενός προσεγγιστικού δικτύου πεπερασμένων στοιχείων (mesh generation), το οποίο εμπεριέχει γεωμετρικό σφάλμα.    

Το Κεφάλαιο 1 καταπιάνεται με τα θεωρητικά στοιχεία των επιφανειακών φορέων και συγκεκριμένα των πλακών, των δίσκων και των κελυφών, με απώτερο σκοπό την κατανόηση των εξισώσεων, οι οποίες απαιτούνται για την μελέτη και την ανάλυση ενός επιφανειακού φορέα. Εξηγείται ότι ο δίσκος είναι επίπεδος επιφανειακός φορέας, ο οποίος καταπονείται με φορτία επί του επιπέδου του και χαρακτηρίζεται από γεωμετρία με τη μία διάσταση μικρότερη κατά τάξεις από τις άλλες δύο, σταθερό πάχος ομογενές υλικό και φορτία επί του επιπέδου, ομοιόμορφα κατανεμημένα επί του πάχους. Οι πλάκες είναι επίπεδοι επιφανειακοί φορείς, οι οποίοι καταπονούνται με φορτία κάθετα στην επιφάνειά τους. Aνάλογα με τη σχέση h/lx,y (όπου h το πάχος, lx,y το μήκος της εκάστοτε πλευράς κατά x/y). Τα κελύφη διακρίνονται σε πολύ λεπτά, λεπτά και μετρίως παχιά και μελετώνται είτε με τη θεωρία των επιφανεικών, φορέων, είτε με τη θεωρία των στοιχείων όγκου, είτε με τη θεωρία των εκφυλισμένων κελυφών Reissner Middlin.    

Στο Κεφάλαιο 2 εξετάζεται η ισογεωμετρική μέθοδος, υπό ένα ευρύ πρίσμα, καθώς αναλύονται βασικοί όροι, τους οποίους κάθε ερευνητής θα πρέπει να κατανοήσει σε βάθος, προτού καταπιαστεί με τη νέα αυτή μέθοδο, όπως είναι τα σημεία ελέγχου στον χώρο των δεικτών, στον παραμετρικό χώρο, στον φυσικό χώρο και οι ιδιότητές τους, τα σημεία Gauss, τα οποία χρησιμοποιούνται και στη νέα μέθοδο, προκειμένου να επιτευχθεί η αριθμητική ολοκλήρωση κατά μήκος ενός μακροστοιχείου. Επίσης, παρουσιάζονται όλες οι βασικές μέθοδοι ολοκλήρωσης, το υπολογιστικό τους κόστος, οι κόμβοι, οι συναρτήσεις βάσεις B-Splines και NURBS και οι ιδιότητες αυτών, τα βάρη, τα οποία δίνουν στα σημεία ελέγχου τη δυνατότητα να απεικονίζονται εκτός του φορέα, καθώς επίσης και οι συναρτήσεις σχήματος, μαζί με μια πληθώρα αριθμητικών παραδειγμάτων κατανόησης.    

Το Κεφάλαιο 3 είναι αφιερωμένο στην παρουσίαση των T-Splines συναρτήσεων βάσης και σχήματος και στην εφαρμογή τους στον τριδιάστατο σχεδιασμό και στην ανάλυση επιφανειακών φορέων. Αναλύονται βασικές έννοιες, όπως είναι το τοπικό διάνυσμα τιμών κόμβων (κάθε σημείο ελέγχου, έχει το δικό του τοπικό διάνυσμα τιμών κόμβων και για αυτόν τον λόγο επιτυγχάνεται μεγαλύτερη ομαλότητα αποτελεσμάτων από το ένα μακροστοιχείο στο άλλο και αυξάνεται η αλληλεπίδραση μεταξύ γειτονικών μακροστοιχείων), το σημείο ελέγχου (anchor), οι τύποι σύνδεσης (junctions), οι οποίοι διαμορφώνουν το τελικό πλέγμα, οι κατηγορίες των μακροστοιχείων και πώς αυτοί διακρίνονται στις T-Splines. Επιπροσθέτως διατυπώνεται ο τρόπος ένωσης των μακροστοιχείων και γίνεται μια προσπάθεια απεικόνισης των T-Splines με το λογισμικό Geomiso v1.0 , με το λογισμικό Rhino 3D καθώς επίσης και με το FUSION 360 και με το Auto Cad 2019. Ειδική μνεία γίνεται για τα εξαεδρικά στοιχεία και κυρίως τα επιφανειακά εκφυλισμένα στοιχεία κελύφους, για τα οποία παρουσιάζεται αναλυτικά ο τρόπος υπολογισμού της Ιακωβιανής, των υπομητρώων παραμόρφωσης, του καθολικού μητρώου παραμόρφωσης, των συνημιτόνων κατεύθυνσης, του μητρώου στιβαρότητας, του τανυστή των τάσεων και μια σειρά παραδειγμάτων επεξήγησης.    

Στο Κεφάλαιο 4 πραγματοποιήθηκε σύγκριση της εντατικής κατάστασης επιφανειακών φορέων διαφόρων τύπων με τα λογισμικά Geomiso v1.0, SAP 2000, GeoPdes και ANSYS. Πέραν ενός δίσκου, μελετήθηκαν τρεις ορθογωνικές πλάκες ίδιας γεωμετρίας και υλικού και διαφορετικών συνοριακών συνθηκών, μία πλακοταινία, μία κυκλική πλάκα με δύο είδη συνοριακών συνθηκών και δύο κελύφη, το δημοφιλές κέλυφος Scordelis-Lo και το ημισφαιρικό κέλυφος γεωμετρίας τρούλου Αγίας Σοφίας. Μελετήθηκε μεγάλος αριθμός πλεγμάτων, και έγινε παραμετρική διερεύνηση της ανάπτυξης των τάσεων τόσο με βάση το πλήθος των βαθμών ελευθερίας, όσο και με βάση το πλήθος των πεπερασμένων στοιχείων ή μακροστοιχείων. Τα αποτελέσματα απέδειξαν την ανωτερότητα της μεθόδου τόσο ως προς την εφαρμογή της σε πολύπλοκες γεωμετρίες όσο και ως προς το τελικό υπολογιστικό κόστος.    

Το Κεφάλαιο 5 αναφέρεται στους κώδικες, οι οποίοι αξιοποιήθηκαν, προκειμένου να δοθούν αποτελέσματα, σε εφαρμογές όπως είναι οι πλάκες και τα κελύφη, ο τρόπος υπολογισμού των συνημιτόνων κατεύθυνσης, ο τρόπος υπολογισμού των anchors κλπ. .