Ο προσδιορισμός των ιδιοχαρακτηριστικών (ιδιοσυχνότητες, ποσοστά απόσβεσης, ιδιομορφές) μιας κατασκευής είναι μια θεμελιώδης διαδικασία στη δομική μηχανική, η οποία εφαρμόζεται τόσο στη φάση του σχεδιασμού νέων κατασκευών όσο και στην παρακολούθηση της δομικής ακεραιότητας ( Structural Health Monitoring) ή την αποτίμηση υφιστάμενων κατασκευών (Damage detection).  

Τα κύρια βήματα μιας τέτοιας διαδικασίας είναι τρία: Πρώτο βήμα είναι η διέγερση της κατασκευής και η συλλογή δεδομένων, η οποία μπορεί να γίνει μέσω Πειραματικής ιδιομορφικής ανάλυσης (Experimental Modal Analysis) ή μέσω Λειτουργικής ιδιομορφικής ανάλυσης (Operational Modal Analysis). Το δεύτερο βήμα είναι η ανάλυση αυτών των δεδομένων με μεθόδους επεξεργασίας σημάτων (Signal Processing Methods), οι οποίες περιλαμβάνουν μεθόδους στο πεδίο του χρόνου (Time domain), στο πεδίο της συχνότητας (Frequency Domain) και στο πεδίο της χρονο-συχνότητας (Time-Frequency domain). Το τρίτο βήμα είναι ο υπολογισμός των ιδιοχαρακτηριστικών με εφαρμογή κατάλληλων αλγορίθμων και εξισώσεων.  

Η παρούσα μεταπτυχιακή εργασία εστιάζεται στην εκτίμηση των ιδιοχαρακτηριστικών σε υφιστάμενες κατασκευές με χρήση μιας μεθόδου στο πεδίο της χρονο-συχνότητας, τον Συνεχή Κυματιδιακό Μετασχηματισμό (Continuous Wavelet Transform - CWT).  

Εξετάζονται τόσο συστήματα ενός βαθμού ελευθερίας (s.d.o.f.) όσο και συστήματα πολλαπλών βαθμών ελευθερίας (m.d.o.f.) με την παραδοχή γραμμικής ελαστικής συμπεριφοράς και υποκρίσιμης απόσβεσης, στα οποία αφού εισάγονται κάποιες αρχικές συνθήκες, στη συνέχεια αφήνονται να ταλαντωθούν ελεύθερα και καταγράφονται οι αποκρίσεις της μετατόπισης, της ταχύτητας και της επιτάχυνσης με τον χρόνο.  

Οι αποκρίσεις των μονοβαθμίων συστημάτων είναι σήματα που περιέχουν μία συνιστώσα (monocomponent), ενώ των πολυβαθμίων συντίθενται από πολλές συνιστώσες (multiocomponent) από τις οποίες κάθε μια αντιστοιχεί σε μια ιδιομορφή. Τα σήματα των αποκρίσεων έχουν επιπλέον το χαρακτηριστικό ότι είναι μη-στάσιμα, δηλαδή το συχνοτικό τους περιεχόμενο μεταβέλλεται με τον χρόνο.  

Η ανάλυση και επεξεργασία τέτοιων σημάτων απαιτεί την έκφρασή τους σε συνάρτηση με τον χρόνο. Η παραδοχή της υποκρίσιμης απόσβεσης, επιτρέπει την εφαρμογή της έννοιας του αναλυτικού σήματος (Analytic Signal) εισάγοντας τις έννοιες του στιγμιαίου πλάτους (Instantaneous amplitude), της στιγμιαίας φάσης (Instantaneous phase) και της στιγμιαίας συχνότητας (Instantaneous frequency), οι οποίες μπορούν να εφαρμοστούν κατάλληλα σε αλγορίθμους και σχέσεις ώστε να υπολογιστούν τα ιδιοχαρακτηριστικά του συστήματος.

Τα αποτελέσματα μιας ανάλυσης στο πεδίο της χρονο-συχνότητας είναι τρισδιάστατα και συνήθως απεικονίζονται σε ένα δισδιάστατο γράφημα όπου ο οριζόντιος άξονας είναι ο χρόνος και ο κατακόρυφος άξονας είναι η συχνότητα, επομένως μπορούν να ληφθούν για το επεξεργασμένο σήμα πληροφορίες και για τη συμπεριφορά των συνιστωσών του ως προς τον χρόνο αλλά και για το συχνοτικό του περιεχόμενο.  

Μια τέτοια απεικόνιση στο πεδίο της χρονο-συχνότητας έχει το χαρακτηριστικό ότι τα υπολογιζόμενα δεδομένα τείνουν να ῾῾συγκεντρώνονται᾿᾿ σε περιοχές του γραφήματος, σχηματίζοντας ῾῾κορυφές᾿᾿ (Ridges). Κάθε κορυφή, αντιστοιχεί σε μια συνιστώσα του σήματος με συγκεκριμένη συχνότητα, επομένως, ο προσδιορισμός των κορυφών αυτών επιτρέπει τον υπολογισμό των αντίστοιχων στιγμιαίων συχνοτήτων και των αντίστοιχων ποσοστών αποσβέσεως και ιδιομορφών με χρήση σχέσεων του αναλυτικού σήματος.  

Ο Συνεχής Κυματιδιακός Μετασχηματισμός είναι μια μέθοδος επεξεργασίας σήματος με μεταβαλλόμενη ευκρίνεια η οποία βασίζεται σε ένα σύνολο ομοειδών συναρτήσεων (κυματιδίων,wavelets) οι οποίες παράγονται από την κλιμάκωση (scaling) και τη χρονική μετάθεση (translation) μιας πρωτότυπης (μητρικής) συνάρτησης (mother wavelet) η οποία έχει μορφή κυματιδίου. Επομένως Ο Συνεχής Κυματιδιακός Μετασχηματισμός είναι συνάρτηση δύο παραμέτρων: της κλίμακας α και της χρονικής μετάθεσης b.  

Στην παρούσα εργασία χρησιμοποιήθηκαν δύο μιγαδικά μητρικά κυματίδια, το μιγαδικό κυματίδιο Morlet (Complex Morlet wavelet) και το κυματίδιο Cauchy (Cauchy wavelet) τάξης n.  

Ο Συνεχής Κυματιδιακός Μετασχηματισμός που χρησιμοποιεί μιγαδικό μητρικό κυματίδιο παράγει πληροφορίες τόσο για το στιγμιαίο πλάτος όσο και για τη στιγμιαία φάση κάθε συνιστώσας στο επεξεργασμένο σήμα. Κάθε συνιστώσα αναλύεται ξεχωριστά.

Για τον προσδιορισμό των κορυφών υπάρχουν διάφορες μέθοδοι οι οποίες μπορούν να καταταχθούν σε δύο κατηγορίες: Differential Methods και Integral Methods. Οι differential μέθοδοι βασίζονται στην εύρεση ενός ζεύγους (α,b) για το οποίο η στιγμιαία συχνότητα του σήματος ταυτίζεται με τη κεντρική συχνότητα του κυματιδίου. Οι integral μέθοδοι βασίζονται στην θεώρηση των κορυφών ως συναρτήσεις οι οποίες έχουν ως χαρακτηριστικό ότι η ενέργειά τους τείνει να συγκεντρώνεται στις περιοχές των κορυφών στο διάγραμμα του χρόνου-συχνότητας. Εισάγοντας μια κατάλληλη συνάρτηση ποινής (penalty function), οι κορυφές εκτιμώνται ως οι συναρτήσεις αυτές που ελαχιστοποιούν αυτή τη συνάρτηση.  

Στην παρούσα μεταπτυχιακή εργασία εφαρμόστηκαν δύο differential μέθοδοι , η Simple Method και η Marseille method. Η Simple Method βασίζεται στο διάγραμμα του μέτρου του συνεχή κυματιδιακού μετασχηματισμού και αναζητεί τις περιοχές όπου εμφανίζεται το τοπικό μέγιστο, που αντιστοιχεί στην συχνότητα της αντίστοιχης συνιστώσας. Η Marseille Method είναι ένας επαναληπτικός αλγόριθμος και βασίζεται στο διάγραμμα της φάσης του συνεχή κυματιδιακού μετασχηματισμού. Η Marseille Method αναζητεί την κλίμακα στην οποία αντιστοιχεί η εξεταζόμενη κορυφή και υπολογίζει την συχνότητα ως την κλίση του διαγράμματος της φάσης με τον χρόνο για την κλίμακα αυτή.  

 Με γνωστές τις κορυφές, μπορεί να βρεθεί η τιμή του συνεχή κυματιδιακού μετασχηματισμού στις θέσεις αυτές και υπολογίζονται τα αναλυτικά σήματα. Η συσχέτιση της λύσης της εξίσωσης της κίνησης για ελεύθερη ταλάντωση με απόσβεση με το στιγμιαίο πλάτος και τη στιγμιαία φάση του αναλυτικού σήματος, επιτρέπει την εξαγωγή εξισώσεων που υπολογίζουν τα ποσοστά απόσβεσης και τις ιδιομορφές.  

Η παρούσα μεταπτυχιακή εργασία διαρθρώνεται σε τρεις θεματικές ενότητες: Η πρώτη θεματική ενότητα παρουσιάζει το βασικό τεχνικό, φυσικό και μαθηματικό θεωρητικό υπόβαθρο, με έμφαση σε σημαντικές έννοιες της επεξεργασίας σήματος όπως η δειγματοληψία (sampling) και η αναδίπλωση (aliasing), καθώς και σε θεμελιώδεις ορισμούς και ιδιότητες του συνεχή κυματιδιακού μετασχηματισμού, αναλύοντας τις έννοιες της ευκρίνειας (resolution), της επιλογής των μητρικών κυματιδίων, της κανονικοποίησης (normalization), της παραμέτρου της κλίμακας (scaling), της παραμέτρου (Q), της επιρροής των φαινομένων των άκρων (edge effects) και του υπολογισμού του μετασχηματισμού σε Η/Υ. Η δεύτερη θεματική ενότητα επικεντρώνεται στις μεθόδους και τους αλγορίθμους που εφαρμόζονται για τον προσδιορισμό των ιδιοχαρακτηριστικών μιας κατασκευής με τη χρήση συνεχή κυματιδιακού μετασχηματισμού όπως αναλύθηκε προηγουμένως και η τρίτη περιλαμβάνει δύο αριθμητικές εφαρμογές των μεθόδων αυτών, μία σε ένα μονοβάθμιο σύστημα και μία σε ένα πολυβάθμιο σύστημα.  

Η υλοποίηση των αλγορίθμων, οι υπολογισμοί και οι απεικονίσεις έγιναν με το πρόγραμμα MATLAB ver.R2021a, χρησιμοποιώντας επιπλέον και τα Signal Processing Toolbox και Wavelet Toolbox.