Πολλές πηγές αβεβαιότητας είναι εγγενείς στον δομικό σχεδιασμό. Παρά τα όσα πιστεύουμε συχνά, οι παράμετροι  της φόρτισης και  οι φέρουσες ικανότητες των δομικών μελών δεν είναι ντετερμινιστικές ποσότητες. Είναι τυχαίες μεταβλητές και επομένως δεν μπορεί να επιτευχθεί απόλυτη ασφάλεια (ή μηδενική πιθανότητα αστοχίας). Κατά συνέπεια, οι κατασκευές πρέπει να σχεδιάζονται για να εξυπηρετούν τη λειτουργία τους με πεπερασμένη πιθανότητα αστοχίας. Για να γίνει κατανοητή η διάκριση μεταξύ ντετερμινιστικών και τυχαίων μεγεθών, εξετάστε τα φορτία που επιβάλλονται σε μια γέφυρα με το αυτοκίνητο και την κίνηση των φορτηγών. Το φορτίο στη γέφυρα και τα βάρη των οχημάτων. Όπως όλοι γνωρίζουμε από την καθημερινή εμπειρία, τα αυτοκίνητα και τα φορτηγά διατίθενται σε πολλά σχήματα και μεγέθη. Επιπλέον, ο αριθμός των οχημάτων που περνούν πάνω από μια γέφυρα κυμαίνεται, ανάλογα με την ώρα της ημέρας. Δεδομένου ότι δεν γνωρίζουμε τις συγκεκριμένες λεπτομέρειες για κάθε όχημα που περνά πάνω από τη γέφυρα ή τον αριθμό των οχημάτων στη γέφυρα ανά πάσα στιγμή, υπάρχει κάποια αβεβαιότητα σχετικά με το συνολικό φορτίο στη γέφυρα. Επομένως το φορτίο είναι μια τυχαία μεταβλητή. Η κοινωνία αναμένει τα κτίρια και τις γέφυρες να σχεδιάζονται με λογικό επίπεδο ασφάλειας. Στην πράξη, αυτές οι προσδοκίες επιτυγχάνονται ακολουθώντας τις απαιτήσεις των κανονισμών που καθορίζουν τις τιμές σχεδιασμού για την ελάχιστη αντοχή, τη μέγιστη επιτρεπόμενη απόκλιση κ.λπ. Οι απαιτήσεις των κανονισμών έχουν εξελιχθεί ώστε να περιλαμβάνουν κριτήρια σχεδιασμού που λαμβάνουν υπόψη ορισμένες από τις πηγές αβεβαιότητας στο σχεδιασμό. Τέτοια κριτήρια αναφέρονται συχνά ως κριτήρια σχεδιασμού με βάση την αξιοπιστία. Στόχος της παρούσας μεταπτυχιακής εργασίας είναι η παροχή υπολογιστικών εργαλείων για την ποσοτικοποίηση της αξιοπιστίας των κατασκευών. Η αξιοπιστία μιας κατασκευής είναι η ικανότητά της να εκπληρώνει τον σκοπό για τον οποίο σχεδιάστηκε, για κάποια συγκεκριμένη διάρκεια ζωής. Η αξιοπιστία συχνά θεωρείται ότι ισούται με την πιθανότητα μια κατασκευή να μην αποτύχει να εκτελέσει την προβλεπόμενη λειτουργία της. Ο όρος «αστοχία» δεν σημαίνει απαραίτητα καταστροφική αστοχία, αλλά χρησιμοποιείται για να δείξει ότι η κατασκευή δεν λειτουργεί όπως θα έπρεπε.

Η ανάλυση δομικής αξιοπιστίας παρέχει ένα χρήσιμο εργαλείο για την αξιολόγηση της ασφάλειας των κατασκευών και επιτρέπει την εκτέλεση πιο ορθολογικών αξιολογήσεων κινδύνου. Είναι μία εναλλακτική προσέγγιση στον παραδοσιακό ντετερμινιστικό δομικό σχεδιασμό, η οποία λαμβάνει υπόψη τις αβέβαιες παραμέτρους που χαρακτηρίζουν τη φυσική κατάσταση της κατασκευής και το περιβάλλον της. Γενικά, η ανάλυση δομικής αξιοπιστίας είναι βολική και απλή όταν η συνάρτηση οριακής κατάστασης διατυπώνεται με μια αναλυτική συνάρτηση. Ωστόσο, στην πρακτική μηχανική, η συνάρτηση οριακής κατάστασης εκφράζεται γενικά ως μη αναλυτική συνάρτηση. Η συνάρτηση οριακής κατάστασης παρουσιάζει μεγάλες δυσκολίες στην ανάλυση της δομικής αξιοπιστίας όταν χρησιμοποιούνται οι πιο κοινές μέθοδοι, όπως η μέθοδος αξιοπιστίας πρώτης τάξης (FORM). Συνήθως, η συνάρτηση οριακής κατάστασης ορίζεται μη αναλυτικά χρησιμοποιώντας έναν αριθμητικό κώδικα, όπως η μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων. Αν και η ανάλυση αξιοπιστίας μπορεί να πραγματοποιηθεί χρησιμοποιώντας την προσομοίωση Monte Carlo ή τη μέθοδο των υποσυνόλων, ένας μεγάλος αριθμός επιλύσεων με την μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων απαιτείται, καθιστώντας την δομική ανάλυση χρονοβόρα, ειδικά για μεγάλες και πολύπλοκες δομές με υψηλή αξιοπιστία. Διάφορα μοντέλα παλινδρόμησης σε συνδυασμό με μεθόδους αξιοπιστίας έχουν χρησιμοποιηθεί για την επίλυση προβλημάτων ανάλυσης αξιοπιστίας που περιλαμβάνουν μη αναλυτική συνάρτηση οριακής κατάστασης. Η παλινδρόμηση διεργασίας Gauss και η μηχανή υποστήριξης διανυσμάτων είναι αλγόριθμοι Μηχανικής Μάθησης, οι οποίοι έχουν εφαρμοστεί για την προσέγγιση της συνάρτησης οριακής κατάστασης, μειώνοντας τον υπολογιστικό χρόνο και η πιθανότητα αποτυχίας προβλέφθηκε χρησιμοποιώντας μεθόδους αξιοπιστίας, όπως η Monte Carlo. Οι μέθοδοι δομικής αξιοπιστίας έχουν εφαρμοστεί σε τρία προβλήματα δομικής ανάλυσης για τον υπολογισμό της πιθανότητας αστοχίας. Η εξίσωση οριακής κατάστασης είναι αναλυτική στο πρώτο παράδειγμα, ενώ η εξίσωση των άλλων παραδειγμάτων περιλαμβάνει τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων. Επιπλέον, αυτές οι εξισώσεις έχουν προσεγγιστεί χρησιμοποιώντας τα δύο μοντέλα παλινδρόμησης μηχανικής μάθησης.

Γενικότερα, η μελέτη της δομικής αξιοπιστίας αφορά την παραβίαση των μέτρων απόδοσης, (υποσύνολο των οποίων είναι οι τελικές ή οριακές καταστάσεις ασφαλείας). Αυτά περιλαμβάνουν την ασφάλεια της κατασκευής έναντι της κατάρρευσης, τους περιορισμούς στη βλάβη ή στις παραμορφώσεις ή άλλα κριτήρια. Οι θεμελιώδεις μεταβλητές που ορίζουν και χαρακτηρίζουν τη συμπεριφορά και την ασφάλεια μιας κατασκευής μπορούν να ονομαστούν «βασικές» μεταβλητές. Στις πιθανοτικές εκτιμήσεις κάθε αβεβαιότητα σχετικά με μια μεταβλητή (εκφρασμένη, ως προς τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας) λαμβάνεται ρητά υπόψη. Τυπικά παραδείγματα είναι διαστάσεις, πυκνότητες ή βάρη, υλικά, φορτία, αντοχές υλικού. Αυτό δεν συμβαίνει  στους  παραδοσιακούς  τρόπους  μέτρησης  της  ασφάλειας,  όπως  ο «συντελεστής ασφάλειας» ή ο «συντελεστής φορτίου». Αυτά είναι «ντετερμινιστικά» μέτρα, καθώς οι μεταβλητές που περιγράφουν τη δομή, την αντοχή της και τα ασκούμενα φορτία υποτίθεται ότι λαμβάνουν γνωστές (εάν είναι συντηρητικές) τιμές για τις οποίες δεν υπάρχει αβεβαιότητα. Στην αντιμετώπιση προβλημάτων του πραγματικού κόσμου, οι αβεβαιότητες είναι αναπόφευκτες. Οι επιπτώσεις των αβεβαιοτήτων στον σχεδιασμό και τον προγραμματισμό ενός μηχανικού συστήματος είναι σημαντικές.

Τις τελευταίες δεκαετίες, έχουν αναπτυχθεί πολλές διαφορετικές μέθοδοι για την επίλυση του προβλήματος της αξιοπιστίας σε προβλήματα μηχανικής. Γενικά, οι προτεινόμενες μέθοδοι αξιοπιστίας μπορούν να ταξινομηθούν σε τρεις κατηγορίες, και συγκεκριμένα:

(i)   Αναλυτικές μέθοδοι που βασίζονται στο ανάπτυγμα της σειράς Taylor της συνάρτησης απόδοσης, όπως η μέθοδος αξιοπιστίας πρώτης τάξης (FORM) και η μέθοδος αξιοπιστίας δεύτερης τάξης (SORM)

(ii)   Μέθοδοι προσομοίωσης Monte Carlo, η απλή Monte Carlo, Importance Sampling και Subset simulation.

(iii)  Οι μέθοδοι υποκατάστασης βασίζονται σε ένα λειτουργικό υποκατάστατο της συνάρτησης αστοχίας

Πριν ξεκινήσουμε με την ανάλυση δομικής αξιοπιστίας, πρέπει πρώτα να προσδιορίσουμε πώς ορίζουμε τη συνάρτηση οριακής κατάστασης. Η έννοια της οριακής κατάστασης χρησιμοποιείται για να βοηθήσει στον ορισμό της αστοχίας στο πλαίσιο των αναλύσεων δομικής αξιοπιστίας. Μια οριακή κατάσταση είναι ένα όριο μεταξύ της επιθυμητής και της ανεπιθύμητης απόδοσης μιας κατασκευής. Το όριο συχνά αντιπροσωπεύεται μαθηματικά από μια συνάρτηση οριακής κατάστασης ή μια συνάρτηση απόδοσης. Για παράδειγμα, σε κατασκευές γεφυρών, η αστοχία θα μπορούσε να οριστεί ως η αδυναμία μεταφοράς της κυκλοφορίας. Αυτή η ανεπιθύμητη απόδοση μπορεί να συμβεί με πολλούς τρόπους αστοχίας: ρωγμές, διάβρωση, υπερβολικές παραμορφώσεις, τοπικό λυγισμό. Ορισμένα μέλη μπορεί να αστοχήσουν με ψαθυρό τρόπο, ενώ άλλα μπορεί να αστοχήσουν με όλκιμο τρόπο. Στην παραδοσιακή προσέγγιση, κάθε τρόπος αστοχίας εξετάζεται χωριστά και κάθε τρόπος μπορεί να οριστεί χρησιμοποιώντας την έννοια της οριακής κατάστασης.

Για να ξεκινήσουμε την ανάλυσή μας, πρέπει να ορίσουμε τις μεταβλητές κατάστασης του προβλήματος. Οι μεταβλητές κατάστασης είναι οι βασικές παράμετροι φορτίου και αντίστασης που χρησιμοποιούνται για τη διαμόρφωση της συνάρτησης απόδοσης. Για ν μεταβλητές κατάστασης, η συνάρτηση οριακής κατάστασης είναι συνάρτηση ν παραμέτρων.

Η ανάλυση αξιοπιστίας κατασκευών είναι ένας από τους σημαντικότερους τομείς στους κλάδους των πολιτικών και μηχανολόγων μηχανικών. Ωστόσο, μια ακριβής ανάλυση στις περισσότερες περιπτώσεις αντιμετωπίζει πολύπλοκα και χρονοβόρα αριθμητικά προβλήματα. Τεχνικές που βασίζονται στη μηχανική μάθηση έχουν εισαχθεί στα προβλήματα ανάλυσης δομικής αξιοπιστίας για την αντιμετώπιση αυτού του τεράστιου υπολογιστικού κόστους και την αύξηση της ακρίβειας. Με στόχο μια γρήγορη και ακριβή ανάλυση, οι τεχνικές μηχανικής μάθησης υιοθετήθηκαν για την προσέγγιση της συνάρτησης οριακής κατάστασης στην προσομοίωση Monte Carlo. Η μηχανική μάθηση είναι η επιστημονική μελέτη αλγορίθμων και στατιστικών μοντέλων που χρησιμοποιούν τα συστήματα υπολογιστών για να εκτελέσουν αποτελεσματικά μια συγκεκριμένη εργασία χωρίς τη χρήση ρητών οδηγιών, βασιζόμενα σε μοντέλα και συμπεράσματα. Θεωρείται ως υποσύνολο της τεχνητής νοημοσύνης. Αυτοί οι αλγόριθμοι χρησιμοποιούνται για την αυτόματη εύρεση των πολύτιμων υποκείμενων μοτίβων μέσα σε πολύπλοκα δεδομένα που διαφορετικά θα δυσκολευόμασταν να ανακαλύψουμε. Τα κρυφά μοτίβα και η γνώση για ένα πρόβλημα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την πρόβλεψη μελλοντικών γεγονότων. Οι αλγόριθμοι μηχανικής μάθησης δημιουργούν ένα μαθηματικό μοντέλο δειγματοληπτικών δεδομένων, γνωστό ως δεδομένα εκπαίδευσης, προκειμένου να κάνουν προβλέψεις χωρίς να είναι αναλυτικά προγραμματισμένοι για την εκτέλεση της εργασίας.

Η θεωρία πίσω από τους αλγόριθμους μηχανικής μάθησης, η εύρεση των βέλτιστων παραμέτρων καθώς και η αξιολόγηση της απόδοσής τους συζητούνται στο κεφάλαιο 4. Οι μέθοδοι αξιοπιστίας παρουσιάζονται στο κεφάλαιο 2, οι οποίες είναι αναλυτική μέθοδος, μέθοδος αξιοπιστίας πρώτης τάξης (FORM) και μέθοδοι προσομοίωσης, όπως π.χ. η προσομοίωση Monte Carlo και η μέθοδος των υποσυνόλων. Στο κεφάλαιο 5, οι αλγόριθμοι μηχανικής μάθησης και η μέθοδος Monte Carlo συνδυάζονται για να αντικαταστήσουν τη μη αναλυτική συνάρτηση οριακής κατάστασης και να υπολογίσουν την πιθανότητα αστοχίας, με μειωμένο υπολογιστικό κόστος. Εφόσον εκπαιδεύεται ένα μοντέλο μηχανικής μάθησης με χαμηλό σφάλμα γενίκευσης, η απόκριση της συνάρτησης αποτυχίας υπολογίζεται ταχύτερα από πριν, καθώς δεν υπολογίζεται από το μοντέλο πεπερασμένων στοιχείων. Ένα καλά εκπαιδευμένο μοντέλο μπορεί να είναι πολύ χρήσιμο, για την αντικατάσταση του μοντέλου πεπερασμένων στοιχείων σε κάθε προσομοίωση των μεθόδων αξιοπιστίας. Τα υπό εξέταση μοντέλα, η προετοιμασία των δεδομένων εκπαίδευσης και η υλοποίηση των μοντέλων, γίνονται με την χρήση του MATLAB. Συγκεκριμένα, δημιουργείται ένα εκπαιδευτικό σύνολο που αποτελείται από τις τυχαίες μεταβλητές του προβλήματος και την απόκριση της συνάρτησης αστοχίας και χρησιμοποιείται για την εκπαίδευση, της παλινδρόμησης Gaussian Process και της μηχανής υποστήριξης διανυσμάτων. Η απόδοση και η ακρίβεια συγκρίνονται σε συνδυασμό με τη συμβατότητα με τις μεθόδους αξιοπιστίας. Στην μέθοδο αυτή, εφαρμόζονται μοντέλα παλινδρόμησης για την προσέγγιση της συνάρτησης οριακής κατάστασης. Η προσεγγιστική συνάρτηση χρησιμοποιείται για την αντικατάσταση της ανάλυσης πεπερασμένων στοιχείων και την εξοικονόμηση υπολογιστικού χρόνου. Η κύρια διαδικασία της προτεινόμενης μεθόδου περιλαμβάνει τα ακόλουθα: (1) δημιουργία δεδομένων εκπαίδευσης για τη δημιουργία ενός μοντέλου παλινδρόμησης, (2) εκπαίδευση του μοντέλου παλινδρόμησης με τα δεδομένα εκπαίδευσης, (3) εξαγωγή της προσεγγιστικής συνάρτησης χρησιμοποιώντας το καλά εκπαιδευμένο μοντέλο παλινδρόμησης και (4) πρόβλεψη της πιθανότητας αποτυχίας χρησιμοποιώντας τις προσομοιώσεις Monte Carlo.

Σκοπός της μεταπτυχιακής διατριβής είναι να διερευνήσει την εφαρμογή αλγορίθμων Δομικής Αξιοπιστίας ως προς την αποτελεσματικότητάς τους και την ακρίβειά τους σε συνδυασμό με αλγόριθμους  παλινδρόμησης μηχανικής  μάθησης. Η μέθοδος αξιοπιστίας πρώτης τάξης (FORM), η προσομοίωση Monte Carlo και η μέθοδος των υποσυνόλων έχουν εφαρμοστεί σε προβλήματα δομικής ανάλυσης για τον προσδιορισμό της πιθανότητας αστοχίας. Στη συνέχεια, η παλινδρόμηση διαδικασίας Gauss και η παλινδρόμηση μηχανής υποστήριξης διανύσματος έχουν χρησιμοποιηθεί για την προσέγγιση της εξίσωσης οριακής κατάστασης, η οποία περιλαμβάνει μοντέλο πεπερασμένων στοιχείων, ενώ χρησιμοποιώντας την προσομοίωση Monte Carlo έχει υπολογιστεί η πιθανότητα αστοχίας.

Αρχικά, οι τρεις μέθοδοι αξιοπιστίας έχουν εφαρμοστεί σε προβλήματα δομικής ανάλυσης, σε μία συνεχή δοκό τριών ανοιγμάτων, στην οποία είναι αναλυτική η εξίσωση οριακής κατάστασης, σε ένας δισδιάστατο δικτύωμα με 23 ράβδους και σε ένα πλαίσιο με τρία στοιχεία δοκού, στα οποία η συνάρτηση αστοχίας περιλαμβάνει την μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων. Τα αποτελέσματα όλων των μεθόδων είναι συμβατά. Η μέθοδος FORM εφαρμόζεται αποτελεσματικά σε αυτά τα τρία προβλήματα. Χρησιμοποιώντας την FORM, έχουν υπολογιστεί κάποια μέτρα ευαισθησίας που αντιστοιχούν σε κάθε τυχαία μεταβλητή, τα οποία καθορίζουν εάν αυτή η τυχαία μεταβλητή είναι κρίσιμη για την πιθανότητα αστοχίας. Αυτά τα μέτρα παρέχουν χρήσιμες πληροφορίες για τις πιο σημαντικές παραμέτρους, οι οποίες θα πρέπει να θεωρούνται ως τυχαίες μεταβλητές.

Η προσομοίωση Monte Carlo επαληθεύει την ακρίβεια των αποτελεσμάτων της μεθόδου FORM, ωστόσο ο υπολογιστικός χρόνος ειδικά για τις εφαρμογές που περιλαμβάνει το μοντέλο πεπερασμένων στοιχείων είναι σημαντικός. Ο υπολογισμός μίας πιθανότητας της τάξης 10⁻³ απαιτεί 100.000 (c.o.v.=10%) προσομοιώσεις, και της τάξης 10⁻⁴ χρειάζεται 1.000.000 προσομοιώσεις.

Η μέθοδος των υποσυνόλων μειώνει δραστικά το υπολογιστικό κόστος της Monte Carlo και παράγει αξιόπιστα αποτελέσματα. Αυτή η μέθοδος εκτιμά τη μικρή πιθανότητα αποτυχίας αντικαθιστώντας την από μια ακολουθία δεσμευμένων πιθανοτήτων, οι οποίες είναι πιο συχνές. Για τον αποτελεσματικό υπολογισμό αυτών των πιθανοτήτων χρησιμοποιείται ο τροποποιημένος αλγόριθμος Metropolis. Η δεσμευμένη πιθανότητα επιλέγεται να είναι p = 0.1, η οποία επηρεάζει τον αριθμό των δειγμάτων σε κάθε δεσμευμένο επίπεδο. Επιπλέον, τα δείγματα των αλυσίδων Markov, τα οποία παράγονται με την μέθοδο των υποσυνόλων θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν για να καθοριστεί εάν μια τυχαία μεταβλητή επηρεάζει (ιστόγραμμα) σημαντικά την πιθανότητα αστοχίας. Έτσι, οι τυχαίες μεταβλητές με ιστογράμματα τα οποία είναι σταδιακά μετατοπισμένα προς το αριστερό μισό της αρχικής μη δεσμευμένης κατανομής, επηρεάζουν περισσότερο την πιθανότητα αστοχίας και τα αποτελέσματα που προκύπτουν είναι συμβατά με τα μέτρα ευαισθησίας της μεθόδου FORM.

Για την εκτενή αντιμετώπιση ζητημάτων σχετικά με την μη αναλυτική συνάρτηση απόδοσης και το τεράστιο υπολογιστικό κόστος στην ανάλυση αξιοπιστίας, εφαρμόζεται μια μέθοδος ανάλυσης δομικής αξιοπιστίας συνδυάζοντας μοντέλα παλινδρόμησης με την προσομοίωση Monte Carlo. Πρώτον, μια μικρή ποσότητα δεδομένων εκπαίδευσης δημιουργείται από τη δομική ανάλυση για την εκπαίδευση των μοντέλων μηχανικής μάθησης. Στη συνέχεια, η μη αναλυτική συνάρτηση απόδοσης προσεγγίζεται από τα εκπαιδευμένα μοντέλα. Για την διερεύνηση της αποτελεσματικότητας αυτού του συνδυασμού γίνεται εφαρμογή σε δύο αριθμητικά παραδείγματα δομικής ανάλυσης. Για την αξιολόγηση της ακρίβειας και της υπολογιστικής αποτελεσματικότητας του MC σε συνδυασμό με αλγορίθμους μηχανικής μάθησης έγινε σύγκριση των αποτελεσμάτων με τις κλασσικές μεθόδους αξιοπιστίας.  Τα  παραδείγματα  έδειξαν  ότι  αυτός  ο  συνδυασμός  παρέχει  ακριβή αποτελέσματα και είναι μια υπολογιστικά αποδοτική προσέγγιση για την εκτίμηση της πιθανότητας αστοχίας των κατασκευών. Σε σύγκριση με τις κλασσικές μεθόδους, ο συνδυασμός μειώνει σημαντικά το υπολογιστικό κόστος με  την επίτευξη λογικής ακρίβειας, καθώς αποφεύγεται ο υπολογισμός της μη αναλυτικής συνάρτησης οριακής κατάστασης που περιλαμβάνει συχνά τη χρονοβόρα ανάλυση πεπερασμένων στοιχείων.

Για την πρόβλεψη της συνάρτησης αστοχίας χρησιμοποιήθηκαν αλγόριθμοι παλινδρόμησης, η διεργασίας Gauss και παλινδρόμησης διανυσμάτων υποστήριξης. Η διαδικασία Gauss είναι η πιο ακριβής και αποτελεσματική, καθώς χρειάζεται λιγότερο αριθμό δεδομένων εκπαίδευσης (500) για να εκτιμηθεί η πιθανότητα αστοχίας, ωστόσο ο υπολογιστικός χρόνος είναι σημαντικός. Οι μηχανές με διανύσματα υποστήριξης έχουν καλύτερες επιδόσεις σχετικά με τον υπολογιστικό χρόνο, καθώς το υπολογιστικό κόστος ελαχιστοποιείται, ωστόσο χρειάζονται 1000 δείγματα, ενώ η εκτιμώμενη πιθανότητα αστοχίας υπολογίζεται με μικρότερη ακρίβεια, καθώς διαφέρει ελαφρώς από την πραγματική, η οποία υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τις κλασσικές μεθόδους αξιοπιστίας. Στην περίπτωση μεγάλου δείγματος, η μέθοδος SVR-MC είναι προφανώς ανώτερη από τη μέθοδο MC, καθώς το υπολογιστικό κόστος που απαιτείται για 10.000.000 προσομοιώσεις είναι 6.02s και 4.89s για τα δύο παραδείγματα αντίστοιχα, ενώ για 100.000 προσομοιώσεις MC απαιτούνται 69.52s και 845.38s για τα δύο παραδείγματα.