Η θεωρία και οι μέθοδοι της στοχαστικής ανάλυσης έχουν αναπτυχθεί σημαντικά τις τελευταίες δεκαετίες με το σκεπτικό ότι όλο και περισσότερα άρθρα δημοσιεύονται τα οποία βρίσκουν εφαρμογή στη ανάλυση των κατασκευών. Χάρη στην εξέλιξη των υπολογιστών/ύπερ-υπολογιστών ο τομέας της ανάλυσης των κατασκευών έχει εξελιχθεί και ως αποτέλεσμα λαμβάνοντας υπόψη τις αβεβαιότητες είναι δυνατό να επιτευχθούν μέγιστα επίπεδα αξιοπιστίας. Λόγω της εγγενώς πιθανολογικής φύσης, οι μηχανικοί έχουν οδηγηθεί στο να λαμβάνουν υπόψη όλες τις παραμέτρους σχεδιασμού όπως τις ιδιότητες υλικού, γεωμετρίας, ατέλειες καθώς και την κατανομή των φορτίων. Στην προσπάθεια να συμπεριληφθούν όλοι οι απρόβλεπτοι παράγοντες για την μοντελοποίηση, η στοχαστική ανάλυση λαμβάνει υπόψη την εκτίμηση της στοχαστικής απόκρισης μιας κατασκευής, συμπεριλαμβάνοντας τις αβεβαιότητες τόσο του υλικού όσο και της γεωμετρίας. Αναμφίβολα, η προσομοίωση Monte-Carlo είναι η δημοφιλέστερη και ευρέως εφαρμοσμένη τεχνική στον τομέα της στοχαστικής ανάλυσης για το σκοπό της εξέτασης αυτών των αβεβαιοτήτων. Ωστόσο,  η μέθοδος αυτή χρειάζεται μεγάλο αριθμό δειγμάτων με συνέπεια της απαίτησης υψηλού υπολογιστικού κόστους. Η παρούσα μεταπτυχιακή εργασία παρουσιάζει μια σειρά από εφαρμογές αυτής της μεθόδου όχι μόνο σε απλά συστήματα αλλά και αλλά και σε κατασκευές. Μία από τις μεγάλες προκλήσεις της υπολογιστικής στοχαστικής μηχανικής είναι η εφαρμογή της στις προτεινόμενες μεθοδολογίες σε μη-γραμμικά προβλήματα (π.χ. ανάλυση πλαισίων 2Δ/3Δ). Η χρήση γραμμικής ανάλυσης για να ληφθεί υπόψη η απόκριση ενός συστήματος αναμφισβήτητα, προσφέρει μια γρήγορη λύση για την εύρεση της εντατικής κατάστασης μιας κατασκευής. Δυστυχώς, πάντα αποτυγχάνει να αναπαραστήσει την πραγματική συμπεριφορά της, λόγω του γεγονότος ότι οι μη γραμμικότητες πρέπει να λαμβάνονται υπόψη για την κατανόηση της πραγματικής συμπεριφοράς σε μία κατασκευή. Η μη-γραμμική απόκριση μιας κατασκευής, δημιουργείται κυρίως τόσο από τη μη-γραμμικότητα υλικού όσο και της γεωμετρίας. Η μη γραμμικότητα του υλικού είναι μία συνάρτηση, μεταξύ της τάσης και της τροπής (π.χ. χάλυβας, σκυρόδεμα κ.λπ.) και μπορεί να ληφθεί υπόψη αλλάζοντας το μητρώο δυσκαμψίας της κατασκευής σε κάθε βήμα της ανάλυσης. Η μη-γραμμικότητα γεωμετρίας, επιδρά στην αλλαγή της γεωμετρίας του συστήματος ως προς τις συνοριακές συνθήκες. Η επίδρασή του αλλάζει σημαντικά την απόκριση (π.χ. καμπύλη δύναμης-μετατόπισης) και συχνά οδηγεί σε ένα φαινόμενο που ονομάζεται λυγισμός (φαινόμενα P-Δ). Η έννοια της μη-γραμμικής ανάλυσης των μεταλλικών κατασκευών είναι η εύρεση του δρόμου ισορροπίας χρησιμοποιώντας τον κατάλληλο αλγόριθμο για να ληφθεί υπόψη το snap-through snap-back ή ένας συνδυασμός αυτών των δύο φαινομένων (π.χ. Load-Control, Displacement-Control και Arc-Length μέθοδοι αντίστοιχα). Οι ατέλειες στις μεταλλικές κατασκευές όπως (η γεωμετρία, το υλικό ή οι ιδιότητες των διατομών) είναι η βασική αιτία για την ανελαστική συμπεριφορά. Οι ατέλειες, χωρίς αμφιβολία, δεν μπορούν να μοντελοποιηθούν μαθηματικά χωρίς τη χρήση στοχαστικών διεργασιών. Λαμβάνοντας υπόψη στοχαστικές διαδικασίες στη μη-γραμμική ανάλυση των κατασκευών, θα είναι περισσότερο ρεαλιστικό για την εξαγωγή χρήσιμων πληροφοριών όπως (π.χ. η κατανομή του φορτίου λυγισμού). Πιο συγκεκριμένα, η μέθοδος Monte-Carlo χρησιμοποιήθηκε για την εύρεση του στοχαστικού ανελαστικού φορτίου λυγισμού σε διατομές I (διπλής συμμετρίας) τόσο σε 2Δ όσο και σε 3Δ χαλύβδινα πλαίσια. Η τεχνική προσομοίωσης Monte-Carlo είναι η πιο ευρέως αποδεκτή μαθηματική μέθοδος για τη συνεκτίμηση αβεβαιοτήτων σε μη-γραμμικά προβλήματα.  Όσον αφορά την ανάλυση του στοχαστικού λυγισμού χαλύβδινων κατασκευών/μελών, η χρήση της θεωρίας πλακών Mindlin-Reissner έχει επίσης λάβει μεγάλη προσοχή, στην αβεβαιότητα των συνοριακών συνθηκών για την εύρεση του φορτίου λυγισμού λαμβάνοντας υπόψη τις ατέλειες με τη χρήση δύο διαφορετικών στοχαστικών πεδίων τόσο για το μέτρο ελαστικότητας όσο και για το πάχος της μεταλλικής πλάκας.

Πιο συγκεκριμένα, στο δεύτερο κεφάλαιο της μεταπτυχιακής εργασίας γίνεται σχολαστική αναφορά στα αξιώματα των πιθανοτήτων καθώς και στον διανυσματικό χώρο στον οποίο οι στοχαστικές αναλύσεις εφαρμόζονται. Αρχικά, τα πρώτα κεφάλαια αφορούν τις ιδιότητες των πιθανοτήτων τόσο σε διακριτές τιμές όσο και σε συνεχείς κατανομές. Επίσης, γίνεται αναφορά στις ροπές, και ορίζεται τόσο η μέση τιμή όσο και η διασπορά μιας συνεχούς κατανομής καθώς και οι ιδιότητες που τις διέπουν. Το εισαγωγικό κεφάλαιο, κλείνει με κάποιες από τις βασικές ιδιότητες του χώρου Lp (Χίλμπερτ).

Το τρίτο κεφάλαιο αφορά την εισαγωγή δύο στοχαστικών μεθόδων με τα οποία συμπεριλήφθηκαν οι ατέλειες της μεταλλικής πλάκας. Πιο συγκεκριμένα, οι  μέθοδοι που χρησιμοποιήθηκαν για τη δημιουργία των στοχαστικών πεδίων τόσο του μέτρου ελαστικότητας όσο και του πάχους είναι η Kurhunen-Loeve series και η Spectral Representation αντίστοιχα. 

Στο τέταρτο κεφάλαιο γίνεται λεπτομερής αναφορά της προσομοίωσης της πλάκας για την ανάλυση λυγισμού με κελυφωτά πεπερασμένα στοιχεία. Αρχικά, γίνεται αναφορά σε βασικές έννοιες το ισοπαραμετρικών πεπερασμένων στοιχείων καθώς και η δημιουργία του μητρώου δυσκαμψίας της πλακας. Τέλος, το κεφάλαιο αυτό κλείνει με την εύρεση του γεωμετρικού μητρώου δυσκαμψίας της πλάκας για την ανάλυση και την εύρεση των ιδιομορφών λυγισμού.

Στο πέμπτο κεφάλαιο παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της στοχαστικής ανάλυσης της μεταλλικής πλάκας. Η ανάλυση λυγισμού της πλάκας έγινε τόσο με στοιχεία τεσσάρων κόμβων όσο με οχτώ αλλά και εννιά αντίστοιχα. Αρχικά παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της ανάλυσης λυγισμού με στοιχεία τεσσάρων κόμβων. Πιο συγκεκριμένα, οι αναλύσεις αφορούν τέσσερεις διαφορετικές μεταλλικές πλάκες οι οποίες έχουν διαφορετικές συνοριακές συνθήκες. Οι αναλύσεις λυγισμού γίνονται αρχίζοντας από μία αρθρωμένη μεταλλική πλάκα. Στη συνέχεια η ανάλυση λυγισμού γίνεται σε μία μεταλλική πλάκα η οποία είναι πλήρως πακτωμένη με μόνο ένα ελεύθερο άκρο. Τέλος οι αναλύσεις που ακολουθούν είναι σε μεταλλικές πλάκες των οποίων οι συνοριακές συνθήκες είναι άρθρωση και πάκτωση καθώς και πλήρη πάκτωση. Σε όλες τις αναλύσεις λυγισμού των πλακών τόσο το μέτρο ελαστικότητας όσο και το πάχος της πλάκας γίνεται με τις δύο στοχαστικές μεθόδους που αναφέρθηκαν στο τρίτο κεφάλαιο. Οι αναλύσεις λυγισμού της πλάκας γίνονται επίσης και με στοιχεία οκτώ και εννιά κόμβων αντίστοιχα. Στις αναλύσεις λυγισμού για κάθε περίπτωση και για κάθε πεπερασμένο στοιχείο παρουσιάζεται η κατανομή της κρίσιμης τάσης λυγισμού (πρώτης ιδιομορφής λυγισμού) συγκρινόμενης με αυτή της κανονικής κατανομής καθώς τόσο η σύγκλιση της μεθόδου Monte-Carlo για κάθε μία από τις 25.000 αναλύσεις  όσο και η αθροιστική κατανομή του δείγματος σε σχέση με την κανονική κατανομή. Τέλος, για κάθε ανάλυση λυγισμού παρουσιάζονται οι τυχαίες κατανομές της τάσης λυγισμού της πλάκας για  διαφορετικά πεπερασμένα στοιχεία με περισσότερους κόμβους καθώς και οι αβεβαιότητες που έχουν οι διαφορετικές συνοριακές συνθήκες.

Τα αποτελέσματα της μεταπτυχιακής εργασίας κλείνουν με την εφαρμογή της μεθόδου Monte-Carlo σε μεταλλικά πλαίσια (2Δ και 3Δ). Οι πρώτες στοχαστικές αναλύσεις εφαρμόζονται σε μεταλλικό πλαίσιο 2Δ τριών ορόφων και δύο ανοιγμάτων. Πιο συγκεκριμένα, οι αναλύσεις που έγιναν στο πλαίσιο 2Δ, λαμβάνουν υπόψη τόσο τη μη-γραμμικότητα του υλικού όσο και της γεωμετρίας. Αρχικά, σε ότι αφορά τη μη-γραμμικότητα του υλικού, η προσομοίωση έγινε με ένα στοιχείο δύναμης λαμβάνοντας υπόψη έντεκα διαφορετικά μέτρα ελαστικότητας που ακολουθούν την κανονική κατανομή με μέση τιμή 190, 200 και 210 GPa και συντελεστή διασποράς 20%. Η τάση διαρροής του χάλυβα ήταν 355 MPa με συντελεστή διασποράς 20%. Ο νόμος του υλικού ήταν γραμμικός πλήρως πλαστικός. Τα αποτελέσματα των αναλύσεων, αφορούσαν την κατανομή της μέγιστης τέμνουσας βάσης για κάθε ανάλυση καθώς και τη μετατόπιση κορυφής για την εκάστοτε μέγιστη τέμνουσα βάση. Η κατανομή της τέμνουσας βάσης ακολουθούσε σχεδόν κανονική μετά από 70.000 μη-γραμμικές αναλύσεις. Αντίθετα, η κατανομή της μέγιστης μετατόπισης κορυφής που ακολουθούσε ήταν τυχαία. Η σύγκλιση τόσο της μέγιστης τέμνουσας βάσης όσο και της μετατόπισης κορυφής παρουσιάζουν σύγκλιση της διασποράς, μετά από 70.000 προσομοιώσεις Monte-Carlo. Οι στοχαστικές αναλύσεις του 2Δ μεταλλικού κτηρίου κλείνουν παρουσιάζοντας τα αποτελέσματα της αβεβαιότητας των μη-γραμμικών αναλύσεων καθώς και της μέσης τιμής των 70.000 αναλύσεων σε σχέση με την ντετερμινιστική. Πιο συγκεκριμένα, μετά από στοχευμένη μετατόπιση 0.70 m η διασπορά της δύναμης παραμένει σταθερή και ίση με 50 kΝ². Τέλος, η μέση τιμή των 70.000 αναλύσεων στον έντονα μη-γραμμικό κλάδο να διαφέρει από αυτή της ντετερμινιστικής ανάλυσης περίπου 5%.

Η τελευταία ανάλυση αφορά ένα μεταλλικό κτήριο 3Δ. Αρχικά, τόσο για το μέτρο ελαστικότητας όσο και για την τάση διαρροής του χάλυβα οι τιμές που δόθηκαν ήταν τα 210 GPa και 355 MPa αντίστοιχα. Ο συντελεστής διασποράς και για τα δύο μεγέθη ήταν και εδώ 20%. Οι αναλύσεις που έγιναν στο μεταλλικό 3Δ πλαίσιο συμπεριλάμβαναν τόσο τη μη-γραμμικότητα γεωμετρίας όσο και υλικού. Ομοίως, και εδώ η μη-γραμμικότητα υλικού έγινε με ένα στοιχείο δύναμης με το νόμο του υλικού να είναι ελαστικός πλήρως πλαστικός. Οι προσομοιώσεις  Monte-Carlo εδώ ήταν 50.000. Συγκρίνοντας, την ντετερμινιστική ανάλυση με αυτή της μέσης τιμής των στοχαστικών προσομοιώσεων και πάλι στον έντονα μη-γραμμικό κλάδο υπάρχει μία μικρή διαφορά της τάξης του 9%. Στη συνέχεια βρέθηκαν οι κατανομές που ακολουθούσαν τόσο η μέγιστη τέμνουσα βάσης όσο και η μετατόπιση κορυφής για την εκάστοτε δύναμη. Η κατανομή της μέγιστης τέμνουσας βάσης και εδώ ακολουθούσε σχεδόν τη κανονική κατανομή. Για τις μετατοπίσεις κορυφής, η κατανομή του δείγματος σε σχέση με την κανονική κατανομή προσέγγιζε καλύτερα συγκρινόμενη με αυτή του 2Δ πλαισίου. Η σύγκλιση τόσο της διασποράς της τέμνουσας βάσης όσο και της μέγιστης μετατόπισης κορυφής επήλθε μετά από 50.000 προσομοιώσεις Monte-Carlo. Τέλος, η καμπύλη τυπικής απόκλισης μετατόπιση κορυφής συνεχίζει να αυξάνεται με αποτέλεσμα να αυξάνεται και η αβεβαιότητα του 3Δ μεταλλικού κτηρίου σε ότι αφορά την διακύμανση της τέμνουσας βάσης, για κάθε σημείο της καμπύλης.

Η μεταπτυχιακή εργασία κλείνει παρουσιάζοντας τα συμπεράσματα όλων των αναλύσεων. Αρχικά, μεγάλο ενδιαφέρων έχει η αναπαράσταση των διαφορετικών κατανομών της τάσης λυγισμού, των διαφορετικών συνοριακών συνθηκών της μεταλλικής πλάκας και πως αυτές τέμνονται μεταξύ τους παρουσιάζοντας έτσι την αβεβαιότητα των υπολογισμών. Επίσης, σύγκριση γίνεται με κελυφωτά πεπερασμένα στοιχεία τόσο με τέσσερεις κόμβους όσο με οκτώ και εννιά αντίστοιχα. Αντίθετα, οι αναλύσεις τόσο του 2Δ όσο και του 3Δ  μεταλλικού πλαισίου εμφάνισε σταθερή αβεβαιότητα σε σχέση με αυτή του 3Δ πλαισίου. Επίσης και στις δύο περιπτώσεις η μέγιστη τέμνουσα βάσης προσέγγιζε την κανονική κατανομή. Τέλος, οι κατανομές της μέγιστης τέμνουσας βάσης του 2Δ μεταλλικού πλαισίου δεν ακολουθούσε κάποια γνωστή κατανομή, σε αντίθεση με του 3Δ μεταλλικού πλαισίου που την προσέγγιζε.