Οι σύγχρονοι κώδικες για την αποτίμηση των κατασκευών, παρέχουν προτάσεις και κατευθυντήριες γραμμές για τη χρήση μεθόδων επίλυσης χρονοϊστορίας στα πλαίσια των αναλύσεων. Η συνήθεις τακτικές στη δυναμική ανάλυση των κατασκευών εμπεριέχουν τη χωρική διακριτοποίηση του υπολογιστικού χωρίου (π.χ. με τη Μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων) και τη σταδιακή χρονική ολοκλήρωση της εξίσωσης κίνησης με κάποιο αριθμητικό σχήμα πεπερασμένων διαφορών (π.χ. μέθοδος Newmark).   

Ωστόσο, η προσομοίωση μεγάλων κατασκευών στο πεδίο του χρόνου μπορεί να καταστεί υπολογιστικά ασύμφορη. Επομένως, διακρίνεται μια ανάγκη για νέες, ταχείες και υψηλής πιστότητας μεθόδους επίλυσης. Οι μέθοδοι Μείωσης Τάξης Προσομοιώματος (Model Order Reduction – MOR), οι οποίες προσεγγίζουν μεγάλα υπολογιστικά μοντέλα με υποκατάστατα χαμηλότερης τάξης, αποτελούν μια ελκυστική επιλογή προς ικανοποίηση αυτής της ανάγκης. Οι τεχνικές Μείωσης Τάξης Προσομοιώματος χωρίζονται σε δυο επιμέρους κατηγορίες: τις εκ των υστέρων και τις εκ των προτέρων. Η πρώτη κατηγορία, αφορά σε τεχνικές, που κατασκευάζουν το προσομοίωμα μειωμένης τάξης (Reduced Order Model – ROM) αναλύοντας μερικές ήδη υπολογισμένες λύσεις του συστήματος πλήρους τάξης και προσφέρονται ιδιαίτερα για εφαρμογή σε προσομοιώματα που εξαρτώνται από λίγες παραμέτρους, αλλά έχουν διαθέσιμο μεγάλο πλήθος παρατηρήσεων. Εν γένει αφορούν στον καθορισμό ενός διανυσματικού υπόχωρου στον οποίο ζει η λύση του προβλήματος και την προβολή των εξισώσεων που διέπουν το σύστημα σε αυτόν. Η δεύτερη κατηγορία αφορά σε μεθόδους οι οποίες βασίζονται στη φυσική που διέπει το εκάστοτε πρόβλημα και συνθέτουν το προσομοίωμα μειωμένης τάξης χωρίς την ανάγκη προ‐υπολογισμένων λύσεων του συστήματος. Αντιπροσωπευτικό παράδειγμα της δεύτερης κατηγορίας αποτελεί η μέθοδος του Ιδιο‐Γενικευμένου Διαχωρισμού (Proper Generalized Decomposition ‐ PGD), η οποία και αναλύεται στην παρούσα μεταπτυχιακή εργασία.  

Η μέθοδος PGD βασίζεται στην έννοια των αναπαραστάσεων χωρισμένων μεταβλητών (separated representations). Η λύση ενός συστήματος, που συνήθως είναι συνάρτηση πολλών μεταβλητών, αναζητείται στη μορφή μιας απειροσειράς όπου κάθε όρος,αποκαλούμενος εμπλουτισμός (enrichment) της λύσης, αποτελεί ένα γινόμενο συναρτήσεων μιας μόνο μεταβλητής. Κάθε τέτοια μεταβλητή μπορεί να αποτελεί χωρική συντεταγμένη, χρόνο ή οποιαδήποτε παράμετρο που επηρεάζει την απόκριση του συστήματος. Κρατώντας λοιπόν, μερικούς μόνο όρους από τη σειρά, αποκτάται μια προσεγγιστική λύση του προβλήματος. Ο υπολογισμός της προσεγγιστικής λύσης μέσω της PGD γίνεται διαδοχικά με εμπλουτισμό του αθροίσματος με νέους όρους έως ότου επιτευχθεί η επιθυμητή ακρίβεια.  

Στα πλαίσια της παρούσας εργασίας, η PGD χρησιμοποιείται για την αναζήτηση του πεδίου μετατοπίσεων ως ένα άθροισα γινομένων αποκλειστικά χωρικών ή χρονικών συναρτήσεων που αποκαλούνται PGD χωρικές ή χρονικές μορφές. Εκφράζοντας τόσο το πεδίο μετατοπίσεων για όλο το χρονικό πεδίο, όσο και τα μητρώα – ιδιότητες του συστήματος σε μια χωρισμένη χωροχρονική μορφή, η εξίσωση κίνησης διατυπώνεται για κάθε χρονική στιγμή. Επομένως, το δυναμικό πρόβλημα επιλύεται σε όλο το χωροχρονικό πεδίο μη επαυξητικά (non-incrementally).  

Προς επίτευξη τούτου, ο επαυξητικός φορμαλισμός της μεθόδου Newmark για την χρονική ολοκλήρωση της εξίσωσης κίνησης, προβάλλεται σε μια ισοδύναμη μη‐επαυξητική του μορφή. Οι σχέσεις πεπερασμένων διαφορών διατυπώνονται σε μια μητρωική μορφή για κάθε χρονικό βήμα. Έτσι, το δυναμικό σύστημα αντιπροσωπεύεται από μία μόνο αλγεβρική χωροχρονική εξίσωση. Σε κάθε βήμα εμπλουτισμού, η αλγεβρική αυτή εξίσωση περιέχει ως αγνώστους μία χωρική και μία χρονική PGD μορφή. Για τον υπολογισμό αυτών χρησιμοποιείται ένας αλγόριθμος σταθερού σημείου (Fixed Point Algorithm) όπου μέσω αυτού, η αλγεβρική χωροχρονική εξίσωση προβάλλεται εναλλάξ στον χώρο ή στον χρόνο και επιλύεται ως προς την εκάστοτε PGD μορφή.  

Για τη διερεύνηση της ακρίβειας, της αποδοτικότητας αλλά και των ορίων της παραπάνω προσέγγισης, επιλύονται ορισμένα αριθμητικά παραδείγματα. Η βασική διερεύνηση διεξάγεται με ανάλυση του μοντέλου ενός επίπεδου 3-όροφου πλαισίου υπό διαφορετικά σενάρια διέγερσης. Αρχικά, το μοντέλο υπόκειται σε επιτάχυνση εδάφους με διεγείρουσα συχνότητα ίση με την πρώτη ιδιοσυχνότητα της κατασκευής. Η προσεγγιστική λύση αποδίδει ακριβή αποτελέσματα με έναν μόνο εμπλουτισμό. Επιπρόσθετα, η πρώτη κανονικοποιημένη χωρική PGD μορφή ταυτίζεται με την πρώτη ιδιομορφή, ενώ η δεσπόζουσα συχνότητα της πρώτης χρονικής PGD μορφής ισούται με την πρώτη ιδιοσυχνότητα της κατασκευής. Έπειτα, στο πλαίσιο εφαρμόζεται ένα συγκεντρωμένο παλμικό φορτίο στον άνω όροφο. Η λύση μέσω της PGD κατορθώνει να αποτυπώσει τα τοπικά μοτίβα παραμόρφωσης που προκαλούνται, με έναν μόνο εμπλουτισμό. Αναδεικνύεται λοιπόν ένα πλεονέκτημα της PGD σε σχέση με την κλασσική ιδιομορφική ανάλυση η οποία απαιτεί ένα μεγάλο πλήθος ιδιομορφών για να προσεγγίσει με ακρίβεια την πραγματική απόκριση. Τέλος, το μοντέλο διεγείρεται με ένα πραγματικό σεισμογράφημα όπου πάλι ένας όρος στην προσέγγιση της PGD αποτυπώνει με ακρίβεια την απόκριση ενώ πάλι είναι εμφανής η συσχέτιση των χωρικών PGD μορφών με τις αντίστοιχες ιδιομορφές. 

Εν κατακλείδι, μέσα από τα αριθμητικά παραδείγματα αναδεικνύεται πως μικρός αριθμός εμπλουτισμών μπορεί να αποδώσει ακριβή αποτελέσματα. Επιπρόσθετα, σε πολλές περιπτώσεις η προσέγγιση μέσω της  PGD συνοδεύεται από επιτάχυνση των αναλύσεων. Αξίζει να σημειωθεί πως ο υπολογισμός της λύσης με αναπαράσταση χωρισμένων μεταβλητών μειώνει σημαντικά τις απαιτήσεις σε μνήμη/αποθηκευτικό χώρο. Επιπλέον, σε όλα τα παραδείγματα η διαδικασία επίλυσης παρουσιάζει ικανοποιητική συμπεριφορά σύγκλισης. Τέλος, εξάγονται συμπεράσματα σχετικά με την εξέλιξη των χωρικών και χρονικών μορφών κατά τη σύγκλιση, τη συνολική απόδοση της μεθόδου, καθώς και την επιρροή διαφόρων αλγοριθμικών παραμέτρων.  

Λέξεις Κλειδιά: Προσομοίωμα Μειωμένης Τάξης, Ιδιο-Γενικευμένος Διαχωρισμός - Proper Generalized Decomposition (PGD), Σεισμική Μηχανική, Δυναμική Κατασκευών