Η παρούσα διπλωματική εργασία ασχολείται με την ανάπτυξη ενός ολοκληρωμένου αριθμητικού πλαισίου για τη συνδυασμένη τοπολογική βελτιστοποίηση και τη βελτιστοποίηση προσανατολισμού σε δομές κατασκευασμένες από ανισότροπα και ειδικότερα ορθότροπα υλικά. Η ανάγκη για αποδοτικότερη κατανομή υλικού και βελτιωμένη μηχανική απόδοση καθιστά τη συγκεκριμένη περιοχή ιδιαίτερα σημαντική στη σύγχρονη δομική μηχανική, ειδικά λόγω της αυξανόμενης χρήσης υλικών όπως τα σύνθετα, τα ξύλινα δομικά στοιχεία και άλλες μορφές προσανατολισμένων υλικών, των οποίων οι μηχανικές ιδιότητες μεταβάλλονται σημαντικά ανάλογα με τη διεύθυνση φόρτισης. Παρότι η ανισοτροπία μπορεί να ενισχύσει την ακαμψία και τη φέρουσα ικανότητα μιας κατασκευής όταν χρησιμοποιηθεί σωστά, η αξιοποίηση του προσανατολισμού της απαιτεί εργαλεία που υπερβαίνουν την κλασική ισότροπη ανάλυση.

Στόχος της εργασίας είναι η ανάπτυξη ενός ολοκληρωμένου υπολογιστικού εργαλείου που δεν περιορίζεται στη συμβατική προσέγγιση της τοπολογικής βελτιστοποίησης, αλλά επεκτείνεται και στη συστηματική αναζήτηση των παραμέτρων που καθορίζουν τη μηχανική απόκριση της δομής. Συγκεκριμένα, το εργαλείο επιτρέπει τον παράλληλο υπολογισμό της βέλτιστης κατανομής υλικού μέσω της μεθόδου SIMP και του βέλτιστου προσανατολισμού των αξόνων του ορθότροπου υλικού σε επίπεδο στοιχείου. Με αυτόν τον συνδυασμό, το μοντέλο αποκτά τη δυνατότητα να καθορίζει όχι μόνο τα σημεία όπου απαιτείται υλικό για τη μεταφορά των φορτίων, αλλά και τον τρόπο με τον οποίο πρέπει να οργανωθούν οι ιδιότητές του, ώστε η κατασκευή να αξιοποιεί στο μέγιστο τις δυνατότητές της και να επιτυγχάνει βέλτιστη απόδοση.

Το υπολογιστικό πλαίσιο υλοποιήθηκε στη γλώσσα προγραμματισμού Julia και δομήθηκε πάνω στο πακέτο πεπερασμένων στοιχείων Ferrite.jl, το οποίο επεκτάθηκε σημαντικά ώστε να υποστηρίζει τον δυναμικό υπολογισμό προσανατολισμού υλικού, την ενσωμάτωση όρων ποινής που σχετίζονται με τη συγκέντρωση τάσεων, καθώς και τη διαχείριση πολλαπλών πεδίων σχεδιαστικών μεταβλητών. Οι επεκτάσεις αυτές καθιστούν το εργαλείο ιδιαίτερα ευέλικτο και ικανό να προσαρμοστεί σε ποικίλες κατηγορίες προβλημάτων, προσφέροντας μια στιβαρή βάση για τον συνδυασμένο βέλτιστο σχεδιασμό γεωμετρίας και υλικών παραμέτρων.

Το θεωρητικό υπόβαθρο περιλαμβάνει λεπτομερή μελέτη της ορθότροπης ελαστικότητας, στην οποία το υλικό περιγράφεται μέσω τεσσάρων ανεξάρτητων παραμέτρων στο επίπεδο: E₁, E₂, G₁₂ και ν₁₂. Οι παράμετροι αυτοί μετασχηματίζονται κατάλληλα όταν το υλικό περιστρέφεται, επιτρέποντας τη διαμόρφωση στοιχειακών πινάκων ακαμψίας για οποιονδήποτε προσανατολισμό. Παράλληλα, χρησιμοποιούνται τετραπλευρικά στοιχεία Q4 με ολοκλήρωση Gauss. Η συναρμολόγηση της συνολικής ακαμψίας γίνεται σε κάθε επανάληψη της διαδικασίας βελτιστοποίησης, καθώς η κατανομή πυκνότητας (μέσω SIMP) και ο προσανατολισμός μεταβάλλονται διαρκώς.

Η τοπολογική βελτιστοποίηση βασίζεται στη μέθοδο SIMP, κατά την οποία η πυκνότητα κάθε στοιχείου λαμβάνει τιμές μεταξύ 0 και 1, ενώ ο πίνακας ακαμψίας κλιμακώνεται σύμφωνα με τον εκθέτη ποινής p. Ως αντικειμενική συνάρτηση χρησιμοποιείται η συμμόρφωση (compliance), η οποία ουσιαστικά ισοδυναμεί με το αντίστροφο της συνολικής ακαμψίας της κατασκευής. Ο περιορισμός όγκου διασφαλίζει ότι η συνολική ποσότητα υλικού είναι καθορισμένη. Η διαδικασία αντιμετωπίζει κλασικά προβλήματα όπως το φαινόμενο checkerboard και η εξάρτηση από το πλέγμα, τα οποία μετριάζονται μέσω χωρικών φίλτρων ευαισθησίας.

Ο προσανατολισμός του υλικού αποτελεί δεύτερη σχεδιαστική μεταβλητή, η οποία ανανεώνεται σε κάθε βήμα με στόχο την ευθυγράμμιση των κύριων αξόνων του υλικού με τις κύριες διευθύνσεις των τάσεων. Η θεμελιώδης παραδοχή είναι ότι η μέγιστη ακαμψία επιτυγχάνεται όταν η ισχυρή διεύθυνση του ορθότροπου υλικού ευθυγραμμίζεται με τη διεύθυνση της μέγιστης εφελκυστικής ή θλιπτικής τάσης. Η διαδικασία αυτή πραγματοποιείται στοιχειακά και οδηγεί σε σημαντική ενίσχυση της συνολικής μηχανικής απόκρισης της κατασκευής χωρίς να τροποποιηθεί απαραίτητα η τελική τοπολογία.

Προστέθηκε επίσης ένας όρος ποινής τάσεων, ο οποίος ενεργοποιείται όταν η τάση von Mises ενός στοιχείου υπερβεί ένα καθορισμένο επιτρεπτό όριο. Με αυτόν τον τρόπο, ο αλγόριθμος αποφεύγει σχεδιασμούς που μπορεί να είναι βέλτιστοι από άποψη ακαμψίας αλλά όχι από άποψη ασφάλειας. Ο όρος αυτός μπορεί να προσαρμοστεί ώστε να επηρεάζει είτε ελαφρώς είτε έντονα την τελική λύση. Η μεθοδολογία της βελτιστοποίησης περιλαμβάνει σε κάθε επανάληψη: τη δημιουργία και συναρμολόγηση του πίνακα ακαμψίας, την επίλυση του συστήματος KU=F, τον υπολογισμό της συμμόρφωσης και των στοιχειακών τάσεων, τον υπολογισμό των ευαισθησιών τόσο ως προς την πυκνότητα όσο και ως προς τον προσανατολισμό, την εφαρμογή φίλτρων και τέλος την ενημέρωση των μεταβλητών. Η ενημέρωση της πυκνότητας γίνεται με την κλασική μέθοδο Optimality Criteria, ενώ ο προσανατολισμός ενημερώνεται μέσω άμεσης στοιχειακής ευθυγράμμισης.

Η εργασία περιλαμβάνει πέντε βασικά αριθμητικά παραδείγματα: δύο παραλλαγές πρόβολου με διαφορετικές φορτίσεις, μία απλή δοκό υπό σημειακό φορτίο, έναν πρόβολο με ομοιόμορφο κατανεμημένο φορτίο και έναν πρόβολο με ανοδικό φορτίο. Όλα τα αποτελέσματα συμφωνούν με τις γνωστές λύσεις της βιβλιογραφίας και αναπαράγουν τις κλασικές Michell-type δομές. Η προσανατολισμένη ανισοτροπία οδηγεί σε ακόμη πιο ευδιάκριτα ροϊκά μονοπάτια φορτίου και σε έντονη στοιχειακή ομοιογένεια του προσανατολισμού.

Ακολουθεί εκτεταμένη παραμετρική ανάλυση, στην οποία εξετάζονται η επίδραση της ακτίνας φίλτρου, του εκθέτη SIMP p, του επιτρεπόμενου όγκου, του βαθμού ανισοτροπίας και της ποινής τάσεων. Παρατηρείται ότι μικρή ακτίνα φίλτρου οδηγεί σε ανεπιθύμητα checkerboards, ενώ μεγάλη ακτίνα προκαλεί υπερβολική εξομάλυνση. Η τιμή p=3 αποδεικνύεται η βέλτιστη για καθαρά και σταθερά αποτελέσματα. Ο περιορισμός όγκου επηρεάζει κυρίως την πάχυνση ή αραίωση των μελών της δομής, χωρίς να μεταβάλλονται τα κύρια μονοπάτια μεταφοράς φορτίων. Η ανισοτροπία επηρεάζει περισσότερο τον προσανατολισμό παρά την ίδια την τοπολογία, επιβεβαιώνοντας ότι η κατανομή φορτίων καθορίζει περισσότερο το τελικό σχήμα από τις ιδιότητες του υλικού. Η ποινή τάσεων είναι χρήσιμη για την αποφυγή αιχμών τάσεων, χωρίς όμως να αλλοιώνει σημαντικά την τοπολογία.

 Η υπολογιστική απόδοση του αλγορίθμου βρίσκεται σε πολύ καλά επίπεδα, με χρόνους εκτέλεσης 30–65 δευτερολέπτων για πλέγματα με αρκετές χιλιάδες στοιχεία. Η αύξηση του μεγέθους του προβλήματος οδηγεί σε περίπου γραμμική αύξηση του χρόνου, ενώ η προσθήκη της βελτιστοποίησης προσανατολισμού επηρεάζει την ταχύτητα πολύ λιγότερο από το αναμενόμενο. Η σύγκλιση επιτυγχάνεται συνήθως μέσα σε 40–50 επαναλήψεις.

Η εργασία καταλήγει στο συμπέρασμα ότι η συνδυασμένη βελτιστοποίηση κατανομής και προσανατολισμού υλικού αποτελεί ένα ισχυρό εργαλείο για τον σχεδιασμό ελαφρών, ακαμψιών και αποδοτικών δομών. Η ανισοτροπία δεν αλλάζει δραματικά την τελική γεωμετρία, ωστόσο βελτιώνει σημαντικά τη λειτουργική απόδοση και επιτρέπει την κατασκευή δομών με μεγαλύτερη εκμετάλλευση των υλικών ιδιοτήτων. Παράλληλα, το αναπτυγμένο υπολογιστικό πλαίσιο μπορεί να αποτελέσει τη βάση για μελλοντικές επεκτάσεις σε τρισδιάστατες αναλύσεις, σε προβλήματα θερμομηχανικής σύζευξης ή σε μη γραμμικές συμπεριφορές.

Συνολικά, η εργασία αποδεικνύει ότι ο συνδυασμός τοπολογικής βελτιστοποίησης και σχεδιασμού προσανατολισμού αποτελεί ένα πολλά υποσχόμενο και ταχέως αναπτυσσόμενο πεδίο, ικανό να αναβαθμίσει σημαντικά τις διαδικασίες βέλτιστου σχεδιασμού. Η ενιαία αντιμετώπιση της κατανομής υλικού και των παραμέτρων που καθορίζουν τη μηχανική συμπεριφορά μιας δομής προσφέρει ένα πολυδιάστατο πλαίσιο σχεδιασμού, μέσα στο οποίο η κατασκευή μπορεί να εξελίσσεται ταυτόχρονα ως προς τη μορφή, τη λειτουργικότητα και την απόδοσή της. Το υπολογιστικό πλαίσιο που αναπτύχθηκε αποδεικνύεται αξιόπιστο και επαρκώς ευέλικτο ώστε να προσαρμόζεται σε διαφορετικές απαιτήσεις και να υποστηρίζει μια μεγάλη γκάμα εφαρμογών. Με αυτόν τον τρόπο, η εργασία θέτει τις βάσεις για τη δημιουργία πιο αποδοτικών και ελαφριών δομικών συστημάτων και προσφέρει ένα ολοκληρωμένο εργαλείο σε μηχανικούς και ερευνητές που επιδιώκουν να ενσωματώσουν σύγχρονες τεχνικές βελτιστοποίησης στον σχεδιασμό κατασκευών και στις μελλοντικές ερευνητικές κατευθύνσεις του κλάδου.